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1、第八章多元函数微分法及其应用8.01在“充分”，“必要”，“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内：（1）在点可微分是在该点连续的充分条件；在点连续是在该点可微分的必要条件。（2）在点的偏导数及存在是在该点可微分的必要条件；在点可微分是函数在该点的偏导数及存的充分条件。（3）的偏导数及点存在且连续是在该点可微分的充分条件。（4）函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的充分条件。8.02求函数的定义域，并求。解：1)，定义域：2)由初等函数的连续性知：8.03证明极限不存
2、在。证明：当点沿用趋于点时，有，显然它是随着的不同而改变的，故：极限不存在。8.04设求及39解：1)当时，2)当时，，故：，故：于是：8.05求下列函数的一阶和二阶导数：（1）；解：，（2）.解：8.06求函数当时的全增量和全微分。解：1)，2)398.07设；证明：在点0处连续且偏导数存在，但不可微分.证明：1)，于是：即：;即：在点连续,即：在处的偏导数存在，且3)假设在点处可微，则有：又书中18页已证明：不存在，故(*)式在时极限不存在，即：不能表示为的高阶无穷小，于是，在处不可微分。8.08设，
3、而都是可微函数，求.解：8.09设具有连续偏导数，而；求。39解：8.10设，其中具有连续的二阶偏导数，求.解：8.11设.试求和.解：将两边同时对,y求偏导数将两边同时对,求偏导数联立式得：于是:8.12求螺旋线在点处的切线法平面方程.解：39切线方程：，即：法平面方程：，即：8.13在曲面上求一点，使这点处的法线垂直于平面，并写出这法线的方程.解：曲面在点处的法线向量为：平面的法向量为：当∥时,曲面在点处的法线垂直于平面,此时,,,于是,点即为所求,此时,所求法线方程为:8.13设x轴正向到方向的转角
4、为，求函数在点沿方向的方向导数。并分别确定转角，使这导数有：（1）最大值；（2）最小值；（3）等于0。解：,于是,函数在点沿方向的方向导数为:当时,有最大值;时,有最小值;或时,.8.15求函数在椭球面上点处沿外法线的方向导数.解:椭球面上点处的法线向量为:,其方向余弦为:,,于是,函数在点处沿的方向导数为:39(因在椭圆球面上)8.16求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点.解：平面与柱面的交线到面上的最短距离为函数的条件下的最小值,作函数：令:解得条件驻点,最小值。于是点即为所求。8.17在第一卦限内
5、作椭球面的切平面，使该切面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这切面的切点，并求此最小体积。解：设为椭球面上在第一象限内的点。椭球面在处的法向量为：切平面为：即：切平面在三个坐标轴上的截距分别为，，，该四面体体积为：又因点在椭球面上,当且仅当时等号成立。39于是：（当时等号成立）。于是：,当时等号成立。故当平面的切点为时,切平面与坐标面所围成的四面体的体积最小,为。第九章重积分9.01计算下列二重积分：（1），其中D是顶点分别为（0，0），（1，0），（1，2）和（0，1）的梯形闭区域；y=x+121D
6、xx01解：区域D:y=sinx01x(2)其中D是闭区域：；D解：39x2+y2=Rx0Rxy（3），其中D是圆周所围成的闭区域；D解：（4），其中D是闭区域：解：区域D:9.02交换下列二次积分的顺序：2x-20Dyy=2x+44（1）39解：（2）解：xy0231Dy1D1（3）D201x2解：其中0aDyxy=xa9.03证明:证明:，证毕。39D10y=11yxy=x2D3D21-19.04把积分表为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是，解：曲线的极坐标方程：曲线的极坐标方程：区域D在极坐标系
7、下有：其中:xyzo9.05把积分化为三次积分，其中积分域是由曲面，及平面y=1,z=0所围成的闭区域解：区域在xOy面投影为Dxy它由抛物线与围成9.06计算下列三重积分：（1）,其中是两个球：和（R>0）的公共部分。解：39（2）,其中是由球面所围成的闭区域。解：区域：关于坐标面均对称（特别就平面）而被积函数关于z为奇函数（3），其中是由xOy平面上曲线绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭区域。解：区域：50yxzxy0baDxy9.07求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积。解：由已知得39x
8、0D-RRy0y9.08在均匀的半径为的半圆薄片的直径上，要接一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀薄片另一边的长度应是多少？解：建立如图所示直角坐标系整个均匀薄片所在区域关于y轴对称；由已知题意，要求整个均匀薄片的重心恰好落在圆心(坐标原点)，即又；即所接均匀矩形薄片另一边的长度应是D9.09求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直0xy1-11线的转
