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1、第八章多元函数微分法及其应用8.01在“充分”,“必要”,“充分必要”中选择一个正确的填入下列空格内:(1)在点可微分是在该点连续的充分条件;在点连续是在该点可微分的必要条件。(2)在点的偏导数及存在是在该点可微分的必要条件;在点可微分是函数在该点的偏导数及存的充分条件。(3)的偏导数及点存在且连续是在该点可微分的充分条件。(4)函数的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的充分条件。8.02求函数的定义域,并求。解:1),定义域:2)由初等函数的连续性知:8.03证明极限不存在。证明:当点沿用趋于点时,有,显然它是随着的不同而改变的,故:极限不存在。
2、8.04设求及解:1)当时,2)当时,,故:,故:于是:8.05求下列函数的一阶和二阶导数:(1);解:,(2).解:8.06求函数当时的全增量和全微分。解:1),2)8.07设;证明:在点0处连续且偏导数存在,但不可微分.证明:1),于是:即:;即:在点连续,即:在处的偏导数存在,且3)假设在点处可微,则有:又书中18页已证明:不存在,故(*)式在时极限不存在,即:不能表示为的高阶无穷小,于是,在处不可微分。8.08设,而都是可微函数,求.解:8.09设具有连续偏导数,而;求。解:8.10设,其中具有连续的二阶偏导数,求.解:8.11设.试求和.解:将两边同时对,y求偏导数将两
3、边同时对,求偏导数联立式得:于是:8.12求螺旋线在点处的切线法平面方程.解:切线方程:,即:法平面方程:,即:8.13在曲面上求一点,使这点处的法线垂直于平面,并写出这法线的方程.解:曲面在点处的法线向量为:平面的法向量为:当∥时,曲面在点处的法线垂直于平面,此时,,,于是,点即为所求,此时,所求法线方程为:8.13设x轴正向到方向的转角为,求函数在点沿方向的方向导数。并分别确定转角,使这导数有:(1)最大值;(2)最小值;(3)等于0。解:,于是,函数在点沿方向的方向导数为:当时,有最大值;时,有最小值;或时,.8.15求函数在椭球面上点处沿外法线的方向导数.解:椭球面上点处
4、的法线向量为:,其方向余弦为:,,于是,函数在点处沿的方向导数为:(因在椭圆球面上)8.16求平面和柱面的交线上与平面距离最短的点.解:平面与柱面的交线到面上的最短距离为函数的条件下的最小值,作函数:令:解得条件驻点,最小值。于是点即为所求。8.17在第一卦限内作椭球面的切平面,使该切面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。求这切面的切点,并求此最小体积。解:设为椭球面上在第一象限内的点。椭球面在处的法向量为:切平面为:即:切平面在三个坐标轴上的截距分别为,,,该四面体体积为:又因点在椭球面上,当且仅当时等号成立。于是:(当时等号成立)。于是:,当时等号成立。故当平面的切点为时,切
5、平面与坐标面所围成的四面体的体积最小,为。第九章重积分9.01计算下列二重积分:(1),其中D是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和(0,1)的梯形闭区域;y=x+121Dxx01解:区域D:y=sinx01x(2)其中D是闭区域:;D解:x2+y2=Rx0Rxy(3),其中D是圆周所围成的闭区域;D解:(4),其中D是闭区域:解:区域D:9.02交换下列二次积分的顺序:2x-20Dyy=2x+44(1)解:(2)解:xy0231Dy1D1(3)D201x2解:其中0aDyxy=xa9.03证明:证明:,证毕。D10y=11yxy=x2D3D21-19.04把积分表为极
6、坐标形式的二次积分,其中积分区域D是,解:曲线的极坐标方程:曲线的极坐标方程:区域D在极坐标系下有:其中:xyzo9.05把积分化为三次积分,其中积分域是由曲面,及平面y=1,z=0所围成的闭区域解:区域在xOy面投影为Dxy它由抛物线与围成9.06计算下列三重积分:(1),其中是两个球:和(R>0)的公共部分。解:(2),其中是由球面所围成的闭区域。解:区域:关于坐标面均对称(特别就平面)而被积函数关于z为奇函数(3),其中是由xOy平面上曲线绕x轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭区域。解:区域:50yxzxy0baDxy9.07求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积。解:
7、由已知得x0D-RRy0y9.08在均匀的半径为的半圆薄片的直径上,要接一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上,问接上去的均匀薄片另一边的长度应是多少?解:建立如图所示直角坐标系整个均匀薄片所在区域关于y轴对称;由已知题意,要求整个均匀薄片的重心恰好落在圆心(坐标原点),即又;即所接均匀矩形薄片另一边的长度应是D9.09求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数)对于直0xy1-11线的转动惯量。解:令则9.10设在xOy面上有一质