高数习题答案总习题一

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1、总习题一1.在“充分”、“必要”和“充分必耍”三者中选择一个正确的填入下列空格内：(1)数列｛不｝有界是数列E｝收敛的条件.数列｛冷｝收敛是数列E｝有界的的条件.(2)Xx)在Xo的某一去心邻域内有界是lim/(x)存在的条件.XT."lim/(x)存在是/U)在%o的某一去心邻域内有界的条件.XT*。(3)夬兀)在x()的某一去心邻域内无界是lim/*(%)=-的条件.XT%lim/(x)=oo是夬x)在x0的某一去心邻域内无界的条件.•Ifo(4)；⑴当xfM寸的右极限沧。+)及左极限几灯)都存在且相等是lim/⑴存XT*。在的条件.解(1

2、)必要，充分.(2)必要，充分.(3)必要，充分.(4)充分必要.2.选择以下题屮给出的四个结论屮一个正确的结论：设用)=2"+3”一2,则当兀TO时，有().(小/U)与x是等价无穷小；(BVU)与x同阶但非等价无穷小；(0/(兀)是比x高阶的无穷小；QVU)是比x低阶的无穷小.解因为=Hm2v+3v-2=Hm2izl+limZzlxtOxxtOxxtOXxt()x=ln21im—+ln31im—=ln2+ln3(令2'—ln,3-l=w).f->oln(l+r)“toln(l+w)所以几V)与兀同阶但非等价无穷小，故应选B3.设几兀)的定义

3、域是[0,1],求下列函数的定义域：⑴用)；(2)/Inx);(3)y(arctanx);(4)/(cos兀)・解⑴由00x<0x>0求九/(兀

4、)],g[g(x)]J[g(x)],g[/(x)]・解因为心)R,所以恥)］g)={:;壽因为g(x)<0,所以g[g(x)]=O;因为g(x)50,所以血(兀)]二0;因为Ax)>0,所以gA^]=-f2M=°x05.利用尸sinx的图形作出下列函数的图形：(1)〉=

5、sin兀

6、;(2))=sin

7、x

8、;(3)y=2sin

9、.6.把半径为尺的一圆形铁片，自中心处剪去中心角为。的一扇形后围成一无底圆锥•试将这圆锥的体积表为。的函数.解设围成的圆锥的底半径为厂，高为力，依题意有RQ沪6=2砒，JO巧_a),271圆锥的体积为1_R2(

10、27r-a)2」4曲—左—71zK34旷2龙二R°(2兀一兀a-a1(0vg2刃.24龙_7.根据函数极限的定义证明1荷”_罕6=5.xt3X—3证明对于任意给定的。0,要~x~^-5

11、

12、x—3

13、v£,即I"書6_5Kg所以lim疋二学=5.X-3XT3x-3&求下列极限:兀2-X+l•(2)limx(a/x2+1-x);XT2⑶lim(名严；XF2兀+1⑷Hmtanx^sinx.xtOx3⑸］i(d〉0,b>0,c>0);xtO3(6)lim(sinx)tanA.X七r

14、2解⑴因为凹皆r°，所以凹諾r(J“+l+Q⑵limx(7^7T-x)=limxdfd+x)XT+8J—>+oo=lim/x——=limzm+l+xXT+oo2x+l.1+2282x+1(3)lim(^

15、r+1=lim(l+-^-)x+1=lim(l-f2X->oo2x+IA—>oo2x+l2丄Z)22x+l•lim(l+县xt82x+1sinx(—-—cosxX3X—>oo72x+l=lim(l++)2(NXT®2X+1尢Too2x+l2犬+12utanx-sinxi-⑷闻一巳廟D_Hmsinx(l-cosx)XT°X3COSX2x(^)2s

16、inx-2sin2-^=limz=lim—"TOXcosxxtO(提示：用等价无穷小换).(5)1町"+；+宀诂=凹(1+空+/?；占_3)冲U3,因为［卵恤/+佇+亠3=丄恤(心+—+—)XTO3x3xtOXXX=![lnalim―+lnblim―+lnclim~-]3r^oln(l+r)”TOln(l+u)v^oln(l+v)=+(lna+ln/?+Inc)=In"abc,■'所以闯"'+?+宀芸=£'歸=畅7・提示：求极限过程中作了变换"-in,bx-l=u,cx-l=v.⑹lim(sin兀严入=lim

17、l+(sinx-l)]sin—i⑸

18、",)tdnA,因为XT号XT号lim[l+(sin兀一l)]sinxT=e,XT弓2vz•lwvsinx(sinx-l)lim(sinx-l)tan