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1、矩阵与变换主备：审核:考纲要求:1、了解二阶矩阵的概念，了解矩阵与向量乘法的意义，了解儿种常见的平面变换.2、会用映射打变换的观点看待二阶矩阵打平面向疑的乘法，理解矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点）•3、了解二阶方阵乘法的意义并理解其运算律，理解逆矩阵的意义及简单性质.4、会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组,理解线性方程组的存在性、唯一性.5、理解特征值与特征向•量的定义.会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形），并能用它來解决问题.知识梳理：1、二阶方阵左乘向量的运算法则是d」Ljl,从
2、儿何上说，矩阵乘向量的作用是把一个向量变成另一个向量；如果把视为点的坐标，那它就是把平面上的一个点变成另一个点2、儿种常见的矩阵变换:（1）、因为XX"10_01.，该变换把点（x,叨变成（x,y）,故矩阵"10'_0L表示-10一X—X01_-y-・y-_10_「0r0——1.9J0.（2）、因为变换；类似地,-1,该变换把点（X,尹）变成（一x，y）9故矩阵-1表示关于y轴的反射■1(T"x"_0k_J--ky.（3）、因为0—」分别表示关于oj,该变换把点变成点的反射变换.,在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变
3、成原来的力倍，故矩阵rionb』表示皿方向上的伸缩变撫类似地，矩阵】0-_01・cosa—sina可以用来表示(4)、把点力（X,刃绕着坐标原点旋转a角的变换，对应的矩阵是・.sinacosa.（5）、⑹、*x-」-y-■XX-K_ojy1.00.■10_1.0表示的是沿x轴的切变变换，沿y轴的切变变换对应的矩阵是X轴上的投影变换.类似地,该变换把所有横处标为X的点都映射到了点（X,0）,因此矩阵_00'10一-00_「d们~uv~au+bsav+bt3、假设矩阵/=」，B=,则矩阵A和矩阵B的乘积AB=Lcad■S
4、L_cu~~dscv+dt^0'1.表示的是上的投影变换.4、在交换律、结合律、消去律中，矩阵.运算满足—律，即;而通常不满足交换律和消去律.5、对平面上任意一个向量a,依次实施两次变换/和g,使之最终対应于向量水,我们称之为变换/和变换g的.记作=g[A“）]，如果变换/'和g分别对应矩阵力和〃，则冇夕=B（Aa）=（BA）a,我们称BA是矩阵B与矩阵A的_.6、设以原点为中心，旋转角为〃的旋转变换/对应于矩阵4则/=,如果向最在变"x,~1换/的作用下对应到向量,，那么应该对向量水实施一个变换广:以原点为屮心，
5、旋转角为一~y」&的旋转变换，方可使之对应到向量仏变换£相应的矩阵3=.7、如果对于线性变换/,存在着一个线性变换/,使得,则称变换厂町逆，并称f是变换r的.类比到矩阵，如杲和变换/和广相应的矩阵分别是二阶方阵力、〃,有.我们称矩阵力可逆，并称〃是/的，记作〃「0们J并不是每一个二阶方阵都是可逆的，炬阵力=」可逆的充要条件是它对应的行列式满足LcaA,且,=.9、逆矩阵具冇两个重要的性质：(1)；(2).axbyc,10、关于变量X,y的二元-•次方程组—((其屮G仏C,〃均为常数)，写成矩阵形式可以cx+dy=
6、fm「°们表达成;从线性变换的角度看，该方程组表示向量通过矩阵,对应的变换的LjdLcd」作用后对应到向量11、因为每一个二元一次方程组都口J以川矩阵表示成,如果矩阵/=b~」可逆，则方程组的解可以表示成.12、对于给定矩阵M,如果存在一个非零向量“和实数2,使得,则称久是矩阵M的特征值，"是矩阵M的属于特征值人的特征向量.[abl】3、矩阵Mt‘I的征值久的充要条件是14、如果矩阵M有特征值2和属于特征值2的特征向量&，则可以得到以下重要的结论：Mna=(其中基础自测：1、若点力(2,2)在朋阵必=cosa_si
7、na—sina対应变换的作用下得到的点为0—2,2)，求矩阵M的逆矩阵.cosa-2—12、已知矩阵*_434—1B=_3『求满足忒勺的二阶矩阵X3、已知么=[J为矩阵力=_]4.属于2的一个特征向量，求实数°,2的值及才.注：如何求两个矩阵乘积的逆矩阵？提示：求两个矩阵乘积的逆矩阵有两种方法，即先求乘积力〃，再求逆矩阵也可利用性质求解，但要注意顺序，不能误以为其逆矩阵是探究突破：对应的变换作川下得到曲线F,再作短阵B=；善对应的变换,一、二阶矩阵与平面向量的乘法_2例1、在平面直角坐标系xOy中，设椭鬪4?+/=1
8、在矩阵力二0求F的方程.二、线性变换的基本性质9?rio]例2、已知曲线C：x2+/=l,对它先作矩阵力=
9、_02」对应的变换,2-得到曲线C：牙+夕2=1.求实数b的值.三、逆变换与逆矩阵[261例3、已知矩阵/=
10、.Ll4J(1)、求出矩阵力的逆矩阵A'1；(2)、A决定的线性变换/将哪一•个点变换到点(3,1)?四、特征值与特征向量—14
