高三数学附加题集中训(空间向量)

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1、高三数学附加题集中训练（3）1、已知斜三棱柱的底面是直角三角形，，侧棱与底面所成角为，点在底面上的射影落在上．（1）求证：平面；（2）若，且当时，求二面角的大小．【解析】（1）∵点在底面上的射影落在上，∴平面，平面，∴又∵∴，，∴平面．（2）以为原点，为轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，．显然，平面的法向量．设平面的法向量为，由，即，，∴，，∴二面角的大小是．AGEDCB2、如图，在三棱锥中，，、，设顶点在底面上的射影为．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设点在棱上，且，试求二面角的余弦值．【解析】证明：（I）方法一

2、：由平面得，又，则平面，故，同理可得，则为矩形，又，则为正方形，故．方法二：由已知可得，设为的中点，则，则平面11，故平面平面，则顶点在底面上的射影必在，故．（II）方法一:由（I）的证明过程知平面，过作，垂足为，则易证得，故即为二面角的平面角，由已知可得，则，故，则，又，则，故，即二面角的余弦值为．方法二：由（I）的证明过程知为正方形，如图建立坐标系，则、、、、，可得，则，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则由得，则，即二面角的余弦值为．3、如图，四棱锥的底面为一直角梯形，其中，、底面，是的中点．（1）求证：∥平面；（2）

3、若平面，①求异面直线与所成角的余弦值；②求二面角的余弦值．【解析】设，建立如图的空间坐标系，、，，、、（1），，所以，平面，∥平面；（2）平面，，即、，即；11①，，所以异面直线与所成角的余弦值为；②平面和平面中，、，所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，所以二面角的余弦值为．4、如图，在多面体中，上、下两个底面和互相平行，且都是正方形，底面，．（Ⅰ）求异面直线与所成的角的余弦值；（Ⅱ）已知是的中点，求证：平面；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，求二面角的余弦值．【解析】解法：（Ⅰ）过，且，则为异面直线与所成的角．．（Ⅱ）∵为的中点,∴平面

4、，从而，∵，∴平面．（Ⅲ）由平面，得．又由（2）平面，∴由三垂线定理得，，∴是二面角的平面角，∵，∴即二面角的余弦值为．解法：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立直角坐标系．（Ⅰ）∵，，∴．11（Ⅱ）∵，，．∴，∴平面．（Ⅲ）由（2）知，为平面的一个法向量．设为平面的一个法向量，则，．由，令，∴．∴，即二面角的余弦值为．PCBMA5、如图，平面，∥，，，，异面直线与直线所成的角为．（Ⅰ）求二面角大小的正切值；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【解析】方法一：（Ⅰ）取的中点，连结，由已知，PCBNMHA，则，所以平面，过点作⊥，交的延长线于，连结，由三

5、垂线定理知，⊥，所以为二面角的平面角，连结，在中，由余弦定理得.由已知，在中，，在中，、在中，，故二面角正切值是；（Ⅱ）因为四边形为正方形，平面，则PCBxMyAy.方法二：（Ⅰ）在平面内，过点作的垂线，按如图所示建立空间直角坐标系，设点，由已知可得点，，则。因为直线与直线所成的角为，则，即，解得，从而，11设平面的一个法向量为，则，即，取，则，又为平面的一个法向量，设向量与的夹角为，则，从而，，显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的正切值是；（Ⅱ）因为为平面的一个法向量，，则点到平面的距离、又，则．6、如图，已知、分别是正方形边、的中

6、点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若平面，试求的值；（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）连结，∵平面，平面，∴，又∵，，∴平面，又∵，分别是、的中点，∴，∴平面，又平面，∴平面平面；（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则，，，，∴，，设点的坐标为，平面的法向量为，则，所以，即，令，则，，故，∵平面，∴，即，解得，故，即点为线段上靠近的四等分点，故；（Ⅲ），则，设平面的法向量为，11则即，令，则，，即，当是中点时，，则，∴，∴二面角的余弦值为．7、已知四棱锥的底面为直角梯形，，、底面

7、，且，，是的中点．（1）证明：面面；（2）求与所成的角；（3）求面与面所成二面角的余弦值．【解析】以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为、、、、、．（1）因、又，故，所以，由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面，又在面上，故面⊥面；（2）因，故、、，所以；（3）平面的一个法向量设为，、，，，平面的一个法向量设为，、、、，，所求二面角的余弦值为．8、如图，在正方体中，是棱的中点，在棱上，11且，若二面角的余弦值为，求实数的值．【解析】以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则各点的坐标

8、分别为，，，；，，，，，，设平面法向量为，而，，所以，可得一个法向量=，设面的一个法向量为，则，即，又因为点在棱上，所以9、如图，已知，，，，为线段的中点．若是绕直线旋转而成的．记二面角的大小为．AOBCD