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1、第7课时空间向量的应用1．异面直线所成的角(1)过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a′与b′，那么直线a′与b′所成的的角，叫做异面直线a与b所成的角．基础知识梳理不大于90°(2)异面直线所成角的向量公式两异面直线a、b的方向向量分别为m和n.当m与n的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成的角θ与m和n的夹角；当m与n的夹角大于90°时，直线a、b所成的角θ与m和n的夹角．所以直线a、b所成的角θ的余弦值为.基础知识梳理相等互补2．直线和平面所成的角(1)平面的斜线与它在平面上的所成的角叫做这条
2、斜线与平面所成的角．(2)直线与平面所成角的向量公式直线a的方向向量和平面α的法向量分别为m和n，若m与n的夹角不大于90°时，直线a与平面α所成的角等于；若m与n的夹角大于90°时，直线a与平面α所成的角等于，所以直线a的方向向量和平面α所成的角的正弦值为.基础知识梳理射影m与n的夹角的余角m与n的夹角的补角的余角3．平面和平面所成的角(1)过二面角α－l－β棱上任一点O作垂直于棱l的平面角，与面α、β的交线分别为OA、OB，那么叫做二面角α－l－β的平面角．(2)平面与平面所成角的向量公式平面α与平面β
3、的法向量分别为m和n，则二面角与m、n的夹角θ．基础知识梳理∠AOB相等或互补1．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确答案：C三基能力强化2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．以上均错答案：C三基能力强化3．(教材习题改编)在如图所示的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的
4、余弦值为()三基能力强化答案：D三基能力强化4．已知直线l的方向向量为v，平面α的法向量是μ，且v·μ＝0，则l与α的位置关系是__________．答案：l⊂α或l∥α5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中平面AB1D1与平面A1BD所成的角为θ(0°≤θ≤90°)，则cosθ＝__________.三基能力强化设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则课堂互动讲练考点一求异面直线所成的角l1与l2所成的角θa与b的夹角〈a，b〉范围0<θ≤0<〈a，b〉<π求法cosθ＝
5、cos〈a，b〉
6、＝
7、cos〈a，b〉＝课堂互动讲练例1(2009年高考广东卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练由题设知点E、F、G1、E1的坐标分别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练题目条件不
8、变，求异面直线AE与CG所成角的余弦值．课堂互动讲练互动探究课堂互动讲练考点二求直线与平面所成的角课堂互动讲练课堂互动讲练例2(2008年高考海南、宁夏卷)如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．课堂互动讲练【解】如图所示，以D为原点，棱DA，DC，DD′所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，C′(0,1,1)，
9、课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练课堂互动讲练【误区警示】在求直线和平面所成的角时，误认为直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线和平面所成角，其错误原因一是概念不清，二是做题不认真．1．利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角．课堂互动讲练考点三求二面角课堂互动讲练2．对易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图所示，二面角αlβ，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角αlβ
10、的大小为θ或π－θ.课堂互动讲练课堂互动讲练例3已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．(1)证明AE⊥PD；课堂互动讲练【思路点拨】据题意，题目中过A点的线中垂直关系比较明显，可以以A为坐标原点建立空间坐标系，利用向量法求解．【解】(1)证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形，点E为BC的中点，所以AE⊥BC
