第五节利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离资料

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1、第五节利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离一、点到平面的距离FEGDCBA设A是平面外一点，B是内一点，为的一个法向量，则点A到平面的距离例1、如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD且GC=2，求点B到平面EFG的距离。例2、在三棱锥S-ABC中，是边长为4的正三角NMSCBA形，平面SAC平面ABC，SA=SC=，M、N分别是AB、SB的中点。（04福建）（1）证明ACSB；（2）求二面角N-CM-B的大小；（3）求点B到平面CMN的距离。PFEDCBA练习：已知ABCD是边长为1的正方形，PD平面ABCD且PD=1，

2、E、F分别是AB、BC的中点.(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离。二、异面直线间距离设是异面直线a、b的公垂向量，C为a上任一点，D1DC1CB1BAA1D为b上任一点，则a、b间的距离.例3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.（1）求异面直线BD与B1C间的距离；（2）求异面直线AA1与BD1间的距离。三、证线面平行若a是平面外一直线，所在向量为，是的一个法向量，若，则∥.例4、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，AC=3，BC=4，AA1=4，点D是AB的中点。（1）求证：ACBC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1

3、；（3）求异面直线AC1与B1C17所成角的余弦值。（05北京文）D1DC1CB1BA1A作业：1、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.(1)求异面直线AA1与B1D1间的距离；（2）求异面直线A1B与B1D1间的距离。ＡＯＥＣＢ2、如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。（1）求点O到平面ABC的距离；（2）求异面直线BE与AC所成的角；（3）求二面角E-AB-C的大小。(06江西)3、如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上

4、的点，且CN＝2C1N.（1）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；（2）求点B1到平面AMN的距离。（06湖北文）DPECBA4、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC.已知求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.（05重庆文）175、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动.（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；ED1DC1CB1BA1A（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.6、

5、如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求二面角B-AC-E的大小；EFBADC（3）求点D到平面ACE的距离。(05福建)7、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G.（1）求A1B与平面ABD所成角的大小；EGDC1CB1BA1A（2）求点A1到平面AED的距离。（03全国)17