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1、利用平面的法向量求点到平面的距离甘肃省彭长军如图1，设是平面的一个法向量，P是外一点，Q是内任意一点，则向量在法向量方向上的射影长d==就是点P到平面的距离.下面举几例予以说明.例1．已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D到平面ABC的距离.解：设是平面ABC的一个法向量，则由及,得,取x=3,得,于是点D到平面ABC的距离为d===.例2．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.解：建立如图2所示的空间直角
2、坐标系C-xyz，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0),F(4,2,0)，∴=(2,4,-2),=(4,2,-2),=(2,0,0).设平面EFG的一个法向量为，则由及，得,取y=1,得,于是点B到平面EFG的距离为d==.例3.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，求点C到平面ABD的距离。第2页(共2页)解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1).设平面ABD的一个法向量为，则由及，得,取x=-1,得=(-1,1,1),于是点C到平面ABD的距离为d===.例4．(06年福建高
3、考题)如图4，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=，求点E到平面ACD的距离.解：由题设易知AO⊥BD，OC⊥BD，∴OA=1，OC=，∴OA+OC=AC，∴∠AOC=90，即OA⊥OC.以O为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),∴E(,,0),=(-1,0,-1),=(0,,-1),=(-,-,0).设平面ACD的一个法向量为，则由及，得,取z=,得=(-,1,),于是点E到平面ACD的距离为
4、d===.第2页(共2页)
