空间几何向量法之点到平面的距离资料

《空间几何向量法之点到平面的距离资料》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、空间几何向量法之点到平面的距离1.要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤：(1)找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量；(2)求出该平面的法向量；(3)求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，这就是该店到平面的距离。例子：点到面的距离（注：AB为点A的斜向量，是面的法向量，点是面内任意一点。）2.求立体几何体积（向量法）体积公式：1、柱体体积公式：2、椎体体积公式：3、球体体积公式：课后练习题zOADCBxyM例题：在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC=CD=AD=AB=1，且∠BAD=300，求点D到平面ABC的距离。要求平面外一点

2、P到平面的距离，可以在平面内任取一点A，则点P到平面的距离即为d=建立如图空间直角坐标系，则A（），B（），C（），D（∴,,设=(x,y,z)为平面的一个法向量，则∴，可取代入得，，即点D到平面ABC的距离是。1.已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D到平面ABC的距离.解：设是平面ABC的一个法向量，则由及,得,取x=3,得,于是点D到平面ABC的距离为d===.2.已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.解：建立如图2所示的空间直角

3、坐标系C-xyz，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0),F(4,2,0)，∴=(2,4,-2),=(4,2,-2),=(2,0,0).设平面EFG的一个法向量为，则由及，得,取y=1,得,于是点B到平面EFG的距离为d==.3.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，求点C到平面ABD的距离。解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1).设平面ABD的一个法向量为，则由及，得,取x=-1,得=(-1,1,1),于是点C到平面ABD的距离为d===.4.如图4，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=C

4、B=CD=BD=2，AB=AD=，求点E到平面ACD的距离.解：由题设易知AO⊥BD，OC⊥BD，∴OA=1，OC=，∴OA+OC=AC，∴∠AOC=90，即OA⊥OC.以O为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),∴E(,,0),=(-1,0,-1),=(0,,-1),=(-,-,0).设平面ACD的一个法向量为，则由及，得,取z=,得=(-,1,),于是点E到平面ACD的距离为d===.5.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，M、

5、N分别是A1C1、BC1的中点．(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；(Ⅱ)求证：MN∥平面A1ABB1；(Ⅲ)求三棱锥M－BC1B1的体积．(Ⅰ)∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥平面A1B1C1，∴B1B⊥A1B1．又B1C1⊥A1B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∴BC1⊥A1B1．∵BB1＝CB＝2，∴BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面A1B1C．(Ⅱ)连接A1B，由M、N分别为A1C1、BC1的中点，得MN∥A1B，又A1B平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，∴MN∥平面A1ABB1．(Ⅲ)取C1B1中点H，连结MH．∵M是A1C1的中点，∴MH∥A1B1，又A1B1

6、⊥平面BCC1B1，∴MH⊥平面BCC1B1，∴MH是三棱锥M－BC1B1的高，∴三棱锥M－BC1B1的体积6.如图，在三棱柱中，,,为中点，且（1）求证：（2）求证：∥平面(3)求三棱椎的体积7.如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点。（1）求证：∥平面(2)求证（2）求三棱锥的体积。