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1、空间几何向量法之点到平面的距离1.要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤：(1)找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量；(2)求出该平面的法向量；(3)求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，这就是该店到平面的距离。uuuurrAB?n例子：点A到面的距离dr（注：AB为点A的斜向量，n是面的法向量，n点B是面内任意一点。）2.求立体几何体积（向量法）体积公式：1、柱体体积公式：VS.h12、椎体体积公式：VS.h3433、球体体积公式：VR3课后练习题0例题：在三棱锥B—ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC=CD=AD=A
2、B=1，且∠BAD=30，求点D到平面ABC的距离。要求平面外一点P到平面的距离，可以在平面内任取一点A，则点P到平面的距离即为d=
3、PAn
4、
5、PAn
6、
7、PA
8、
9、PA
10、
11、n
12、
13、n
14、131131建立如图空间直角坐标系，则A（2,0,0），B（2,0,2），C（0,2,0），D（2,0,0)133113∴AC(2,2,0),AB(2,0,2),DC(2,2,0)31nABxz022设n=(x,y,z)为平面的一个法向量，则13nACxy0223∴y3x,z3x，可取n(3,1,3)
15、DCn
16、33d223939代入
17、n
18、得，d1313，即点D到平面ABC的距离是13。1.
19、已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D到平面ABC的距离.解：设n(x,y,z)是平面ABC的一个法向量，则由ngAB0及ngBC10,得2yx2x2yz03,取x=3,得n(3,2,2),于是点D到平面ABC的距离为2x2y5z02zx3uuurrDAgnd=r=n494917=.17172.已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz，则G(0,0,2),E(2,4,0),
20、B(0,4,0),F(4,2,0)，∴GE=(2,4,-2),GF=(4,2,-2),BE=(2,0,0).设平面EFG的一个法向量为n(x,y,z)，则由2x+4y2z0ngGE0及ngGF0，得4x2y2z0uuurrx=yBEgn2211,取y=1,得n(1,1,3),于是点B到平面EFG的距离为d=r=.z3yn11113.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，求点C到平面ABD的距离。111111解：建立如图3所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1).11设平面A1BD的一个法向量为n(x,y,z)，则由ng
21、DA10及ngDB0，得xz0xy0uuuurrz=-xC1Dgn223,取x=-1,得n=(-1,1,1),于是点C1到平面A1BD的距离为d=r==.y=-xn334.如图4，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2，求点E到平面ACD的距离.222解：由题设易知AO⊥BD，OC⊥BD，∴OA=1，OC=3，∴OA+OC=AC，∴∠AOC=90，即OA⊥OC.以O为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,3,0),D(-1,0,0)
22、,∴1333E(,,0),AD=(-1,0,-1),AC=(0,3,-1),ED=(-,-,0).2222设平面ACD的一个法向量为n(x,y,z)，则由ngAD0及ngAC0，得xz03yz0x=-z3,取z=3,得n=(-3,1,3),于是点E到平面ACD的距离为y=z3uuurrEDgn321d=r==.n775.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，M、N分别是A1C1、BC1的中点．(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；(Ⅱ)求证：MN∥平面A1ABB1；(Ⅲ)求三棱锥M－BC1B1的体积．(Ⅰ)∵ABC－A1B1
23、C1是直三棱柱，∴BB1⊥平面A1B1C1，∴B1B⊥A1B1．又B1C1⊥A1B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∴BC1⊥A1B1．∵BB1＝CB＝2，∴BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面A1B1C．(Ⅱ)连接A1B，由M、N分别为A1C1、BC1的中点，得MN∥A1B，又A1B平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，∴MN∥平面A1ABB1．(Ⅲ)取C1B1中点H，连结MH．∵M是A1C1的中点，∴MH∥A1B1，又A1B1⊥平面BCC1B1，∴MH⊥平面BCC1B1，∴MH是三棱锥M－BC1B1的高，1112∴三棱锥M－BC1B1的体积VSBC1B1MH41
