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《高三一轮复习-导数在函数研究中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、导数在函数研究中的应用1.函数的单调性了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.2・函数的极值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）・抓主干ZHISHIHUIGU»知识回顾》穩固根基知识点一利用导数研究函数的单调性1.函数/（兀）在某个区间（G，b）内的单调性与其导数的正负有如下关系⑴若f（X）＞0,则/（X）在这个区I'可.上是增加的.⑵若厂（x）＜0,则/（X）在这个区间上是减少的.（3）若。［（兀）
2、=0,则久X）在这个区间内是常数.2.利用导数判断函数单调性的一般步骤（1）求£‘（x）.（2）在定义域内解不等式f‘（x）＞0或f‘（x）＜0.（3）根据结果确定/W的单调区间.易误提醒1.在某个区间S,方）上，若/‘（x）＞0,则./（X）在这个区间上单调递增；若ff（x）＜0,则/（x）在这个区间上单调递减；若/©）二0恒成立，则人兀）在这个区间上为常数函数；若/©）的符号不确定,则./（x）不是单调函数・2・若函数=.Ax）在区间（a,b）上单调递增，则fx）＞0,且在（a,b）的任意子区间，等号不恒成立；若函数厂.心）在区间
3、⑺，b）上单调递减，则/V）＜0,且在（a,b）的任意子区间，等号不恒成立・［自测练习］1.函数,Ax）=x+elnx的单调递增区间为（）A.（0,十8）B.（一8,0）C.（一8,0）和（0,+8）D.R解析：函数定义域为（0,+8）,f（X）二1+；＞0,故单调增区间是（0,+8）・答案：A1.若函数J(x)=x3+x2+mx+l是R上的单调增函数，则加的取值范围是.解析:••TOO=X3+X2+mx+1,:・f(x)=3x2+2x+m.又・・・/(x)在R上是单调增函数，:・f⑴20恒成立，・••/=4・12加W0,即〃&+答案：
4、p+°°)知识点二利用导数研究函数的极值1.函数的极大值在包含X。的一个区间ab)内，函数y=Ax)在任何一点的函数值都尘建0点的函数值，称点X0为函数尹=/(x)的极人值点，其函数值.心0)为函数的极人值.2.函数的极小值在包含X。的一个区间(a,〃)内，函数y=f{x)在任何一点的函数值都大丁心点的函数值,称点X。为函数尹=几丫)的极小值点，其函数值/(也)为函数的极小值.极人值与极小值统称为極值，极人值点与极小值点统称为极值点.易误提醒f(x°)=0是X。为./(X)的极值点的非充分非必要条件•例如/(x)=?/(0)=0,但x二
5、0不是极值点；又如/(X)=
6、x
7、,x=0是它的极小值点，但/(0)不存在•［自测练习］3.函数./U)的定义域为开区间(a,b),导函数/'(x)在(a,6)内的图象如图所示，则函数./(X)在开区间(a,“)内有极小值点()A.1个B.2个C.3个D.4个解析：导函数/'(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方,右侧图象在x轴上方的只有一个，故选A.答案：A4.若函数.Ax)=?+c7?+3x-9在兀=一3时取得极值，则a等于()C.4解析：f1(x解得q=5.D.5)=3x2+2ax+3,由题意知/'(-3)=0fB卩3X(
8、■3)?+2X(・3)a+3二0,A.2B.3答案：D研I考］向KAOD4ANYANJIU厶佐糅密考点一利用导数研究函数的单调性］怎UOTANJIU［典题悟法〕(2015-高考全国卷II)已知函数/(x)=lnx+^(l-x).(1)讨论金)的单调性;(2)当./(X)有最大值，几最大值大于2a-2时，求q的取值范围.［解］⑴/⑴的定义域为(0,+8),f(x)=;-a.若qWO,则f(x)>0,所以./U)在(0,+co)单调递增・若a>0,则当xW(0,灯时,f(x)>0；当xwg,+町时,f⑴<0.所以./W在(0为单调递增，在£
9、,+oo)单调递减.⑵由⑴知，当qWO时，./(x)在(0,+8)无最大值；当q>o时J(x)在兀二+处取得最大值，最大值为启)"右G-Ina+a-1.因此爲>2a-2等价于a+ci・l<0.令g⑷=a+a-I，则如在(0,+8)单调递增，g(i)二0.于是，当0l时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1)・［〉〉规律方法］利用导数研究函数的单调性应注意两点⑴在区间内f(x)>O(T(x)<0)是函数.心)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件・⑵可导函数/⑴在@0)内是增(减)函数的充要
10、条件是：冷丘⑺力),都有广(x)MO(T(x)W0),且/(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零・［演练冲关］1.已知函数fix)=mx—pc2(wR),求函数/(x)的单调区间.解：函数Xx)=7
