高三数学一轮复习基础导航 4.2导数在研究函数中的应用

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1、4.2导数在研究函数中的应用【考纲要求】1、导数在研究函数中的应用　　①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.　　②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.　　2、生活中的优化问题.　　会利用导数解决某些实际问题..【基础知识】1、用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只

2、需证明在函数的定义域内（）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间。一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数（3）单调性的应用一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥温馨提示：①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式＞（＜)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。②已知函数的增（减）区间，应得到≥（≤）0，必须要带上等号。③求函数的单调增（减）区

3、间，要解不等式＞0，此处不能带上等号。④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接。2、求函数的极值（1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，右侧>0，那么是极小值。（3）

4、极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。(5)一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件。（6）求函数的极值一定要列表。3、用导数求函数的最值（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；②比较函数值，与，其中最大的一

5、个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。【例题精讲】例1已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx(a，b∈R)．若y＝f(x)图象上的点(1，－)处的切线斜率为－4，求y＝f(x)的极大值．解：(1)∵f′(x)＝x2＋2ax－b，∴由题意可知：f′(1)＝－4且f(1)＝－，即解得∴f(x)＝x3－x2－3x，f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.由此可知，当x变化时，f′(x)，f(x)的

6、变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x＝－1时，f(x)取极大值.例2已知函数f(x)＝xlnx.(1)求f(x)的最小值；(2)讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的解的个数．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x＝.当x∈(0，＋∞)时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：xf′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以，f(x)在(0，＋∞)上最小值是f＝－.(2)当

7、x∈时，f(x)单调递减且f(x)的取值范围是；当x∈时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围是.下面讨论f(x)－m＝0的解：当m<－时，原方程无解；当m＝－或m≥0时，原方程有唯一解；当－

8、在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增3．f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能的是图中的(　　)4．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是(　　)A．2B．1C．0D．由a确定5．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是(　　)A．0B．1C．2D．36．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)