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《中考数学复习指导：公式的拓展与应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、公式“_^显_丄，,的拓展与应用〃(〃+1)nn+1一、公式的由来问题呈现：一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出丄L水，第二次2倒ill的水量是丄l水的丄，第三次倒出的水量是11水的丄，第四次倒出的的水量是丄l23344水的丄…第n次倒出的水量是丄L水的丄…按照这种倒水方式，这1L水经过多少次才能5nn+倒完？本题容易知道，n次倒出的总水量为：丄+丄+丄22x33x4+——+_+••・+_根据分式的减法法则得丄=—^—4x5(n-)nn(n+l)(/?-1)h/?(/?+1)nn+1n(n+l)11)+4丿由此得到公
2、式，一!—=丄-_—(*)我们不妨称(*)式为“拆项公式”，根据“拆项公式”n(n+)n/?+11舁一1n)得上述n次倒岀的总水量为：丄+笔者对这个有趣的“拆项公=i—L.不难发现，丄＜i，所以容器中的水是倒不完的.n++式”进行了探索研究，略有收获，在此与广大读者进行交流.二、公式的拓展拓展一：若公式中两个分母的差值k伙H0),则•证明:+k1—kn+k2-kn=k2_]knkn+k2kn(kn+k2)kn{kn+k2)nCn+k)拓展二：若公式的分母中含有三个连续因式，则i=±——/?(n+l)(n+2)2n{n+1)(
3、h+1)(h+2)证明：由拓展一，得!=—•丄〔丄—-卜丄]1.nCn+l)(n+2)0+1)2n+2)2
4、_a?(h+1)(〃+1)(h+2)拓展三：若公式的分母中含有四个连续因式，则i=1U2—+—]—1n{n+1)(n+2)(/?+3)6n(n+1)(n+1)(〃+2)(n+2)0+3)证明：由拓展一、拓展二，得=n(n+1)(/?+2)(〃+3)(/?+l)(n+2)3〃+3丿111in11]37?(A?+!)(«+2)(n+1)(〃+2)(〃+3)3(2_n(n+l)(/?+1)(办+2)_——U1：1_2*1・(n+
5、1)(/1+2)(n+2)(“+3)J6/(n+1)(/?+l)(n+2)(/?+2)(/?+3)_•拓展四若公式的分母中含有五个连续因式则!n(n+1)(〃+2)(n+3)(/7+4)=j_r133'刃M+1)一⑺+1)5+2)(n+2)(n+3)—(n+3)S+4)「证明：由拓展一、拓展三，得111(11、=n(n+l)(n+2)(n+3)(n+4)(斤+1)(〃+2)(斤+3)4(斤+1〃+4丿111=i.q4n(n+l)(x+2)(/?+3)(/?+1)(巾+2)(/2+3)(/?+4)46[n(n+l)亦1爲+2)乙+2鳥+3
6、)]~[(苻:+2)乙+2爲+3)*忌);+4)24n(n+1)(/?+1)(/?+2)(/?+2)(/?4-3)(/?+2)(/?+3)拓展五若公式的分母小含有k+l(k$2且是整数)个连续因式，则1_1r1k-k-(n+l)・・・(n+A)Ix2x3x•••>
7、2+4+6・・・+101423解•••2+4+6+…+2n=2(l+2+3+・・・+n)=n(n+l)•原式=—_+——=+504x505505x506+…+=3++•••+506x5071007x1008'1.50450550550610071008丿3=(5041008丿336*评析本题看似无从下手，但从求偶数和的一般情形出发，讲分母转化为“拆项公式”的形式，问题就会迎刃而解.2、求代数式的值例2己知对于任意正整数n,都有a+a2+a3+-+an=n3,则—1。2_1°3一1。1()()一1解Tai+a?+a3—an=n64,ai
8、+a2+a3+^4+a5=125,3]=1,3
9、+&2=8，3]+&2+&3=27，3
10、+&2+&3十如=•e.a2=7,aa=19,如=37,a5=61,an=3n(n-1)+1,•:31(x)=3X100X99X1,A_L_⑦一11-11+2丿(231_<99~W033100丿100If3.评析本题通过找到an=3n(n-1)+1这个通项公式，然后把所求的问题转化为能用“拆项公式”的形式，问题就迎刃而解了.例3对于一切不小于2的自然数m关于x的一元二次方程,一(n+2)x-2『=0的两个根记作亡、bn(n^2),则】
11、】+・・・+1
12、.(。2-2)($-2)(①-2)(仇-2)(。2007一2)(方2007-2)解由根与系数的关系得an+bn=n+2,anbn=-•由(『-2)(bn-2)=anbn-2(an+bn)+4=-2n2-(n
