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时间:2019-08-04
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1、乘法公式的基础与拓展应用一、乘法公式的基础及变形:(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式:①位置变化,(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化,(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2③指数变化,(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化,(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化,[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(
2、z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化,(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化,(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧逆用公式变化,(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz二、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想认识乘法公式:对于学习的两种(三个)乘法公式
3、:平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2,可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设a、b都是正数,那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。如图1,两个矩形的面积之和(即阴影部分的面积)为(a+b)(a-b),通过左右两图的对照,即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2,通过面积的计算方法,即可得到两个完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。2、乘法公式的使用技
4、巧:①提出负号:对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以避免负号多带来的麻烦。例1、运用乘法公式计算:(1)(-1+3x)(-1-3x);(2)(-2m-1)2②改变顺序:运用交换律、结合律,调整因式或因式中各项的排列顺序,可以使公式的特征更加明显.例1、运用乘法公式计算:(1)(x-)(x2+)(x+)③逆用公式将幂的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得a2-b2=(a+b)(a-b),逆用积的乘方公式,得anbn=(ab)n,等等,在解题时常会收到事半功倍的效果。例2、计算:(1)(+5)2-(-5)2;(2)(a-)2(a2+)2(a+)2④合理分组
5、:对于只有符号不同的两个三项式相乘,一般先将完全相同的项调到各因式的前面,视为一组;符号相反的项放在后面,视为另一组;再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。计算:(1)(x+y+1)(1-x-y);(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).三、学习乘法公式应注意的问题(一)、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”.例1计算(-2x2-5)(2x2-5)例2计算(-a2+4b)2 (二)、注意为使用公式创造条件 例3计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5). 例4计算(a-1)2(a+1)2 例5计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+
6、1). (三)、注意公式的推广计算多项式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 可叙述为:多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍. 例6计算(2x+y-3)2(四)、注意公式的变换,灵活运用变形公式 例7(1)已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2的值; (2)已知:x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值.例8计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2. (五)、注意乘法公式的逆运用 例9计算(a-2b+3c
7、)2-(a+2b-3c)2. 例10计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2 例1.已知,,求的值。例2.已知,,求的值。例3:计算19992-2000×1998例4:已知a+b=2,ab=1,求a2+b2和(a-b)2的值。例5:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x2-z2的值。例6:判断(2+1)(22+1)(24+1)……(22048+1)+1的个位数字是几?例7.运用公式简便计算(1)1032(2)1982例8.计算(1)(a+4b-3c)(a-4b-3c)(2)(3x+y-2)(3x-y+2)
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