乘法公式的基础与拓展应用

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1、乘法公式的基础与拓展应用一、乘法公式的基础及变形:(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2=x2-y2③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(

2、z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4⑧逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]=2x(-2y+2z)=-4xy+4xz二、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想认识乘法公式：对于学习的两种（三个）乘法公式

3、：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。2、乘法公式的使用技

4、巧：①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。例1、运用乘法公式计算：（1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)2②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.例1、运用乘法公式计算：（1）(x-)(x2+)(x+)③逆用公式将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2=(a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。例2、计算：（1）(+5)2-(-5)2;（2）(a-)2(a2+)2(a+)2④合理分组

5、：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。计算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1计算(-2x2-5)(2x2-5)例2计算(-a2+4b)2　　（二）、注意为使用公式创造条件　　例3计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．　　例4计算(a-1)2(a+1)2　　　　例5计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+

6、1)．　　　　（三）、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．　　可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．　　例6计算(2x+y-3)2（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式　　例7(1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；　　(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．例8计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．　　　　（五）、注意乘法公式的逆运用　　例9计算(a-2b+3c

7、)2-(a+2b-3c)2．　　　　例10计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2　　例1．已知，，求的值。例2．已知，，求的值。例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？例7．运用公式简便计算（1）1032（2）1982例8．计算（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c)（2）(3x+y-2)(3x-y+2)