2017年八年级八年级数学上册1.2怎样判定三角形全等巧用全等三角形证明线段相等素材（新版）青岛版

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1、巧用全等三角形证明线段相等三角形全等是证明线段相等、角相等的重要工具，而掌握三角形全等的判断方法，一方面可以培养同学们的逻辑推理能力，另一方面又可以为今后的进一步学习作好准备.为帮助大家顺利掌握利用全等三角形证明线段相等的有关知识，现举几例供大家参考——（一）利用“SAS”判定两三角形全等，从而得到线段相等例1．如图①，已知点B是线段AC的中点，且有DB=EB，∠EBA=∠DBC.试说明AD=CE成立的理由.解：∵点B是线段AC的中点(已知)，∴AB=CB（线段中点的意义）.又∵∠EBA=∠DBC(已知)，∴∠DBA=∠DBE

2、＋∠EBA=∠DBE＋∠DBC=∠EBC.在△ABD和△CBE中：∴△ABD≌△CBE（SAS）.∴AD=CE（全等三角形的对应边相等）.评注：本例的解题依据是——有一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等（简称为“边角边”）.（二）利用“ASA”判定两三角形全等，从而得到线段相等例2．如图②，已知∠ABC＝∠DCB，∠ABD＝∠DCA，试说明AC=DB成立的理由.解：∵∠ABC＝∠DCB，∠ABD＝∠DCA(已知).∴∠ABC－∠ABD=∠DCB－∠DCA（等式的性质），即∠DBC＝∠ACB.在△ABC和△DCB中：∴

3、△ABC≌△DCB（ASA）.∴AC=DB（全等三角形的对应边相等）.评注：本例的解题依据是——有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等（简称为“角边角”）.（三）利用“AAS”判定两三角形全等，从而得到线段相等例3．如图③，已知△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC.过点C作一条射线CE⊥AE于E，再过点B作BD⊥CE于D.试说明AE=CD成立的理由.解：∵∠ACB=90°(已知)，∴∠2＋∠3=90°.又∵CE⊥AE，BD⊥CE(已知)，∴∠AEC=∠CDB=90°（垂直的意义）.∴∠1＋∠2=90°，∴∠1=

4、∠3（等式的性质）.在△ACE和△CBD中：∴△ACE≌△CBD（AAS）.∴AE=CD（全等三角形的对应边相等）.评注：本例的解题依据是——有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简称为“角角边”）.（四）利用“HL”判定两直角三角形全等，从而得到线段相等例4．如图④，已知△ABC是等腰三角形，BD、CE分别是△ABC两腰上的高线，试说明BE=CD成立的理由.解：∵△ABC是等腰三角形(已知)，∴AB=AC（等腰三角形两腰相等）.又∵（已知），∴CE=BD（等式的性质）.在Rt△BCE和Rt△CBD中：∴Rt△B

5、CE≌Rt△CBD（HL）.∴AE=CD（全等三角形的对应边相等）.评注：本例的解题依据是——有斜边和其中一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称为“斜边直角边”）.（五）综合运用多次全等，也能得到线段相等例5．如图⑤，已知AB=AC，DB=DC，E是AD延长线上的任一点.试说明BE=CE成立的理由.解：在△ABD和△ACD中：∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠ADB=∠ADC（全等三角形的对应角相等），∴∠BDE=180°－∠ADB=180°－∠ADC=∠CDE.在△BDE和△CDE中：∴△BDE≌△CDE（SAS）.

6、∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）.评注：用三角形全等来证明线段相等，如果直接全等不能得证，则一般可以考虑进行多次全等.※两点说明：1、当待证线段所处的图形与线段的中垂线有关时，一般可利用线段中垂线的性质（线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等）直接得出两线段相等.例6．已知如图⑥，△ABC中，AB=AC，BE=CE，D是AE上任一点.试说明DB=DC成立的理由.解：∵AB=AC，BE=CE（已知），∴AE是等腰△ABC的底边BC的中垂线（等腰三角形三线合一）.又∵点D在AE上（已知），∴DB=DC（线段中垂线上的点到线段

7、两端点的距离相等）.评注：本例如果先判定△ABE≌△ACE，然后再去判定△BDE≌△CDE或△ABD≌△ACD，则问题也能得解，但相对而言，利用线段中垂线的性质直接得到线段相等显然要简单得多.2、当待证线段所处的图形与角平分线有关时，一般可利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）直接得出两线段相等.例7．已知如图⑦，在△ABC中，∠B=∠C，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，试说明DE=DF成立的理由.解：∵∠B=∠C，AD⊥BC（已知），∴AD是等腰△ABC的顶角∠BAC的平分线（等腰三角形三线合

8、一）.又∵点D在AD上，且DE⊥AB，DF⊥AC（已知），∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）.评注：与上例一样，本例也可以先判定△ADB≌△ADC，然后再去判定△BDE≌△CDF或△ADE≌△ADF，但是相比较而言，利用线段中垂线的性质直接得到线段相等显然要简单