2009年漳州市高中数学竞赛(试卷)

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1、2009年漳州市高中数学竞赛（高二年）一、填空（本大题共10小题，每小题7分，满分70分，请直接将答案写在题中的横线上）1.已知圴为锐角，且满足=－，则与的关系是2.设为椭圆的两个焦点，P为椭圆上任意一点，则的最大值与最小值的和为3.空间四边形的两组对边的平方和相等，则它的两条对角线所成的角为4.长度为18的线段随机地分成三段，这三段能够构成三角形的概率为5.若函数在区间上的值域为，则=6.若数列是单调递增数列，且，；则首项的值等于7.不等式的解集为8.表示不大于的最大整数，则方程的实数解是9.在中，已知，则的值为10.已

2、知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数T，对任意，恒有成立，现有函数，则实数的取值范围是二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，满分80分，要求写出解答过程）11.对于函数，若存在，使得成立，则称点为函数的不动点。（1）令，求证：点是函数的不动点，则点必是的不动点。（2）若对于任意实数b，函数总有2个相异的不动点，求实数a的取值范围。8（3）若定义在R上的奇函数存在n个不动点，则n必为奇数。812.过椭圆内一点，作直线AB与椭圆交于点A、B，作直线CD与椭圆交于C、D，过A、B分别作椭圆的切线交于点P，过C、D

3、分别作椭圆的切线交于点Q，求P、Q连线所在的直线方程。13.设是曲线上的点列，是正半轴上的点列，且均是等边三角形，又设它们的边长分别是；是数列的前项和，求。814.设且，求三元函数的最小值，并给予证明。2009年漳州市高中数学竞赛（高二年）一、填空（本大题共10小题，每小题7分，满分70分，请直接将答案写在题中的横线上）1.已知圴为锐角，且满足=－，则与的关系是2.设为椭圆的两个焦点，P为椭圆上任意一点，则的最大值与最小值的和为343.空间四边形的两组对边的平方和相等，则它的两条对角线所成的角为90°4.长度为18的线段随

4、机地分成三段，这三段能够构成三角形的概率为0.255.若函数在区间上的值域为，则=26.若数列是单调递增数列，且，；则首项的值等于87.不等式的解集为8.表示不大于的最大整数，则方程的实数解是9.在中，已知，则的值为10.已知集合M是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数T，对任意，恒有成立，现有函数，则实数的取值范围是二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，满分80分，要求写出解答过程）11.对于函数，若存在，使得成立，则称点为函数的不动点。（1）令，求证：点是函数的不动点，则点必是的不动点。（2）若对于任意实数b，函

5、数总有2个相异的不动点，求实数a的取值范围。（3）若定义在R上的奇函数存在n个不动点，则n必为奇数。证明（1）：由不动点的定义知，从而=是的不动点。（2）由条件知，方程有两个不等实根，即有两个不等实根，恒成立，即对任意实数b，恒成立。，即，解得。（3）由于是定义在R上的奇函数，从而，即是的一个不动点。8若有异于零的不动点，则有，从而，即亦是的不动点，的非零不动点均为成对出现，共有个，由于是的不动点，的不动点共有个。12.过椭圆内一点，作直线AB与椭圆交于点A、B，作直线CD与椭圆交于C、D，过A、B分别作椭圆的切线交于点P

6、，过C、D分别作椭圆的切线交于点Q，求P、Q连线所在的直线方程。解：如图，过点A、B、C、D的切线方程分别为因点在PA，PB上，则在PA，PB上，则这表明在直线上。由于两点决定一直线，为，同理，CD所在的直线方程为，因为AB与CD相交于所以M点坐标分别满足AB，CD直线方程，因此。这表明P、Q在直线上，由两点决定一条直线知，PQ所在直线方程为。813.设是曲线上的点列，是正半轴上的点列，且均是等边三角形，又设它们的边长分别是；是数列的前项和，求。解：如图，的坐标为，直线的方程为，因此点的坐标满足，消去得，又，故从而，从而两

7、式相减得已知，因此是以为公差的等差数列。易得：，故14.设且，求三元函数的最小值，并给予证明。证明：构造函数，则由于时，单调递减，故在内单调递增。8对于且有取，得即同理有从而故当时故所求最小值为0.8