高中数学竞赛模拟试卷.doc

高中数学竞赛模拟试卷.doc

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1、高中数学竞赛模拟试卷(2)班级姓名一、选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6小题,每小题均给出A,B,C,D四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.1.函数与的定义域和值域都是,且都有反函数,则函数的反函数是()2.集合由满足如下条件的函数组成:当时,有,对于两个函数,以下关系中成立的是()中,则比式等于4.抛物线上两点关于直线对称,若,则的值是().5.椭圆的中心,右焦点,右顶点,右准线与轴的交点依次为,则的最大值为().不能确定.6

2、.函数的值域为()二、填空题(本题满分54分,每小题9分)本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上.7.若,则.8.数列由全体正奇数自小到大排列而成,并且每个奇数连续出现次,,如果这个数列的通项公式为则9.为实数,满足,则的最大值为.10.若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积,则集中元素个数的最大值为.11.作出正四面体每个面的中位线,共得条线段,在这些线段中,相互成异面直线的“线段对”有个.12.用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色,(每点染一色,有的颜色也可以不用)使每条线段上的两个顶点皆不同色,则不同的染色方法有种.三、解答题(本题满分60

3、分,每小题20分)13.设为正数,证明:14.已知二次函数(1)若变化时,它们的图象是不同的抛物线,如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点,过这三个交点作圆,证明这些圆都经过同一定点,并求出这个定点的坐标。(2)若此二次函数的图象经过点(1,1),且记两数中较大者为P,试求P的最小值。15.设是质数,且的不同正因数的个数不超过个.求.高二数学竞赛模拟试卷(2)参考答案一、选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6小题,每小题均给出A,B,C,D四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字

4、母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.1.函数与的定义域和值域都是,且都有反函数,则函数的反函数是()答:C.解:由依次得,互易得.2.集合由满足如下条件的函数组成:当时,有,对于两个函数,以下关系中成立的是()答:D.解:.,取,则.中,则比式等于答:解:如图易知,,因此选4.抛物线上两点关于直线对称,若,则的值是().答:.解:由以及得,5.椭圆的中心,右焦点,右顶点,右准线与轴的交点依次为,则的最大值为().不能确定.答:.解:.(时取等号)6.函数的值域为()答:.解:的定义域为则,令,则因,则.二、填空题(本题满分54分,每小题9分)本题共有6小题

5、,要求直接将答案写在横线上.7.若,则.答:.解:由条件得,则.8.数列由全体正奇数自小到大排列而成,并且每个奇数连续出现次,,如果这个数列的通项公式为则答:.解:由,即当时,,所以,于是,9.为实数,满足,则的最大值为.答:.解:设,则,(当时取等号).10.若集合中的每个元素都可表为中两个不同的数之积,则集中元素个数的最大值为.答:.解:从中每次取一对作乘积,共得个值,但其中有重复,重复的情况为,共种,因此集合中至多有个数.11.作出正四面体每个面的中位线,共得条线段,在这些线段中,相互成异面直线的“线段对”有个.答:个“线段对”.解:任取一条中位线考虑,所在的

6、侧面没有与异面的线段;含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面;含点的另一个侧面恰有一条中位线与异面;不含的侧面恰有两条中位线与异面;因此与异面的中位线共有条,即含有线段的异面“线段对”共有个,于是得异面“线段对”个,(其中有重复).但每一个异面“线段对”中有两条线段,故恰被计算了两次,因此得个异面“线段对”.12.用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色,(每点染一色,有的颜色也可以不用)使每条线段上的两个顶点皆不同色,则不同的染色方法有种.答:种.解:将其转化为具有五个扇形格的圆盘染五色,使邻格不同色的染色问题。设有个扇形格的圆盘染五色的方法数为,则有,于是

7、三、解答题(本题满分60分,每小题20分)13.设为正数,证明:证:对归纳,时显然成立等号;设时结论对于任意个正数成立,当时,对于任意个正数,据假设有,…5分所以只要证,…平方整理,只要证,……10分由柯西不等式……………15分即所以即成立,因此当时结论成立.故由归纳法知,所证不等式成立.………………………………20分14.已知二次函数(1)若变化时,它们的图象是不同的抛物线,如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点,过这三个交点作圆,证明这些圆都经过同一定点,并求出这个定点的坐标。(2)若此二次函数的图象经过点(1,1),且记两数中较大者为P,试求P的最小值。

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