高中数学竞赛模拟试卷.pdf

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1、高中数学竞赛模拟试卷（3）班级姓名一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合A{x

2、x2[x]2}，B{x

3、

4、x

5、2}，则AB()A．(－2，2)B．[－2，2]C．{3,1}D．{3,1}200611112．若fx2x52x453x357x54，则f=()2A．－1B．1C．2005D．20073．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边

6、长的平方和为t，则t的取值区间是()A．[1，2]B．[2，4]C．[1，3]D．[3，6]4．平面上有两个定点A、B，另有4个与A、B不重合的的动点C、C、C、C。若使12341sinACBACB(ij,i,j1、2、3、4)，则称（C,C）为一个好点对。那么这样的好ij3ij点对（）A．不存在B．至少有一个C．至多有一个D．恰有一个5．等腰直角三角形ABC中，斜边BC=42，一个椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上）()x2y2x2

7、y2A．1B．164242642342x2y2x2y2C．1D．1426423426426．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为()A．1372B．2024C．3136D．4495二、填空题（本大题共6小题，每小题9，满分54请将正确答案填在横线上。）7．等差数列{a}的前m项和为90，前2m项和为360，则前4m项和为_____.nx3sinx2a08．已知x,y[,]，aR，且1，则cosx2y的值为

8、_________.444y3sin2ya029．100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个人中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为__________.10．在ABC中，AB=30，AC=6，BC=15，有一个点D使得AD平分BC并且ADB是Sm直角，比值ADB能写成的形式，这里m、n是互质的正整数，则m－n=________.SnABC11．设ABCD－ABCD是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点A，1111B，C，D的圆上的点

9、Q之间的最小距离是___________.11112．min{a,b,}的最大值为.a2b2三、解答题（本大题共3题，每题20分，共60分，解答要有必要的过程）13．（本小题满分16分）是否存在最小的正整数t，使得不等式ntnt1n3nntt对任何正整数n恒成立，证明你的结论。14．（本小题满分18分）12x3y4x4y3z2z1设x，y，z为正实数，求函数fx,y,z的最小值。xyzx2y2x2y215．（本小题满分22分）设A、B分别为椭圆1ab0

10、和双曲线1的公a2b2a2b2共的左、右顶点。P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足APBPAQBQR,1。设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k、k、k、k.1234(1)求证：k+k+k+k=0；1234(2)设F、F分别为椭圆和双曲线的右焦点。若PF//QF，求k2k2k2k2的值。12211234高二数学竞赛模拟试卷（3）参考答案说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只

11、要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分．一、选择题(本大题共6个小题。每小题6分，满分36分．)(注：选择题有些解答是不同于标准答案的简单一点的解法，供参考)1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合A{x

12、x2[x]2}，B{x

13、

14、x

15、2}，则AB()A．(－2，2)B．[－2，2]C．{3,1}D．{3,1}解：选C解：由于x=0A，排除答案A、C，又x=－1满足题意，故选C;11112．若fx2x52x453x357x542006，则f=

16、()2A．－1B．1C．2005D．20071111解：选B解：令t，则2t22t550，故2f(t)[2t22t55t3t11]2006120061，故选B;3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t，则t的取值区间是()A．[1，2]B．[2，4]C．[1，3]D．[3，6]解：选B解：当四边形顶点与正方