全国高中数学竞赛金牌模拟试卷(一)

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1、全国高中数学竞赛金牌模拟试卷（一）（完卷时间：120分钟；满分：150分）题号一二总分得分评卷人一、选择题1、二次函数与一次函数在同一个直角坐标系的图像为（）2、已知数列满足。的前项的和，则等于（）A、B、C、D、3、在的展开式中，的幂指数是整数的各项系数之和为（）A、；B、；C、；D、4、在1，2，3，4，5的排列中，满足条件的排列个数是（）A、10；B、12；C、14；D、16.5、直线与抛物线中至少有一条相交，则m的取值范围是（）A、B、C、D、以上均不正确6、若关于的不等式有解，且解集的区间长不超过5个单位，满足上述要求的的最大值为、最小值为，则－等于（）A、1B、24C、2

2、5D、267、，则方程组（）A、有且仅有一组实数解B、有且仅有两组不同的实数解C、有两组解，但不一定都是实数解D、由于为参数，以上情况均有可能出现8、锐角△ABC中，，分别以BC，CA，AB边上的高AD，BE，CF为折线，将三角形折成平面角均为的二面角，记折叠后的四面体ABCD，ABCE，ABCF体积方便为，则下面结论正确的是（）A、B、C、或D、大小不能确定9、有九条直线，其中每一条都将一平行四边形分割成面积比为2：3的两个四边形，那么这九条直线（）A、存在这样的九条直线；没有两条过同一个点；B、至少有两条过同一个点；C、至少有三条过同一个点；D、至少有四条过同一个点；10、设，则

3、的最小值等于（）A、B、C、D、二、填空题11、设为实数，集合，则____________________．12、是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则与的大小关系是____________________．13、已知向量垂直，垂直，则向量的夹角是____________________．14、已知，且，则的值是____________________．15、设为已知常数，且，要使为常数，则的取值范围是____________________．16、如图，长方体ABCD－A1B1C1D1，，E为D1C1中点，若平面A1BC1与平面ACE所成二面角的平面角为，则____________

4、________．17、若表示不超过的最大整数（如等等）则＝____________________．18、斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，P为线段AB上的点，且.则P点的轨迹方程是____________________．19、函数的最大值为____________________．20、一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数是____________________．（连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段叫做凸多面体的对角线。）21、全国篮球职业联赛的某个赛季在H队与F队之间角逐。采取七局四胜制（无平局），即若有一队胜4

5、场，则该队获胜并且比赛结束。设比赛双方获胜是等可能的。根据已往资料显示，每场比赛的组织者可获门票收入100万元。组织者在此赛季中，两队决出胜负后，门票收入不低于500万元的概率是____________________．答案与提示一、选择题：1、.提示：二次函数与一次函数图象交于两点、，由二次函数图象知，同号，而由中一次函数图象知异号，相矛盾,故舍去.又由知，当时，，此时与中图形不符，与中图形相符.故选2、B提示：由此推得：∴∴。故选B3、.提示：.由于的幂指数应为整数,因此,为奇数.记…+.由于…-,…-,因此,将以上两式相减,即可得到.4、.提示：由已知条件知只可能或，且.(1)

6、当时,则或当时,有!=种排列:当时,有!=种排列,即共有8种排列.同理,当时,也有8种排列.故应选.5、.提示：原命题可变为，求方程：，，中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的的值，使得所求.即变为解不等式组得，故符合条件的取值范围是或，应选.6、D；提示由得解得∴；故选D7、B提示：原方程组可变为(1)表示过点的直线,(2)表示椭圆,中心为,短半轴长为.由知,点在椭圆内部,因此,过点的直线与椭圆必有两个不同的交点.故选.8、提示：（以上表示面积）.记,同理可得由于为相同值,因此,要比较大小,即比较、、的大小.∵

7、、∴-==∴,∴.同理,.∴,选.9、.提示：如图，设为满足要求的直线，将平行四边形分成两个梯形，易知，要使这两个梯形面积之比为2：3，只要其中位线比为2：3，即:=2：3，象这样的点有四个（图中），且适合条件的九条直线必过这四点中的一个点.根据抽屉原理知，其中必有3条直线过同一个点.故选C10、B提示：取则故选B二：填空题11、.提示：由可得12、.提示:∵在上是偶函数,且.∴∴∴是以2为周期的偶函数∴,.又∵在(0.1)上是增函数,0.1与0.2且,∴