2018考研数学线代重点矩阵多项式的特征值计算技巧

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1、2018考研数学线代重点：矩阵多项式的特征值计算技巧特征值和特征向量是考研数学中线性部分的重要考点，属于每年必考知识。因此各位考生对其性质和计算方法一定要熟练掌握。关于特征值的计算，其方法主要有三种，包括根据特征值的定义计算、由特征多项式计算、根据特征值的性质计算等。在这里要向大家介绍的是如何计算矩阵多项式的特征值，这个问题被很多同学忽视了，但该问题在考研数学试卷中很有可能会出现，因此在此做些分析说明，供2018考生参考。一.矩阵多项式的特征值计算技巧1、矩阵多项式的定义：设/（x）=+咛+勺『+•••+%/（a/0）,丄为方阶矩阵，贝U定义/（&之袒+唧+勺#+「.+%4心壬

2、％4上，其中^=S,并JUO称&为矩阵丄的多项式。2、矩阵多项式的特征值定理：若刃阶矩阵4的全部特征值为恋备…,兔，八c）是多项式，贝厅3的全部特征值为^⑷丿显）,…』（入）.证:该定理对一般的方阵都成立，但由于其证明需要用到更多的数学知识（超岀考研大纲的范围）,因此在这里只对4为实对称矩阵的情况加以证明。设4为实对称矩阵，则4可臥对角化，即存在可逆矩阵P,使P~XAP=A,其中A=,于是A=PAr1^Ak=PAkp-1f■=^(A)^1,因此/(&与HA)相&=LEE=P&a^p-1fc"O匕》0上・0似，它们有相同的特征值，而(fWJ0fW佗）故/（A）的全部特征值为/凤）

3、』（爲），…』（兔）,因此/3）的全部特征值为/⑷,伦),…』(4).二典分析例、设3阶实对称矩阵A的特征值兔=1,^=2,^=-2,^=（1-1,1/是4的对应于兔的一个特征向量，记B二才-4才+E,其中E为3阶单位矩阵；（I）验证说是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值的特征向量；（II）求矩阵B注：2007年数一（22）、数二（24）、数三（22）（11分）解:（I）由Aa[=al可得4勾二易勾（“1,2,3...）,于是=（才-4才+£）%=（彳一4攀+1）他=-2%,说是矩阵号的特征向量。因为4为对称矩阵，所以B的特征值必二;1/-42；+1,B的全部特征值为-2,

4、1,1,B的对应于^=-2的全部特征向量是妬術，其中俎是不为零的任意常数。由4为实对称矩阵，得E也是实对称矩阵，其对应于不同特征值的特征向量正交,设£的对应于1的特征向量为x=（xpx2,x3）r,则有方程如下：于是求得3的对应于1的特征向量为y(70,1几他=(1丄0几其对应于特征值1的全部特征向量是是$笛+禺斶，其中©禺是不同时为零的任意常数。则严嗨如(-2丄1)所以1-11(II)令矩阵F二国®碣卜-1011101-1—Pdag(-2,1,1)‘K=-101111如g(-2丄1)031*311-10110对于矩阵多项式的特征值计算问题，如果我们按照普通的方法先由仏求岀矩阵

5、多项式S再计算矩阵/(刈的特征值，这个计算量肯定会很大，也容易岀现计算错误，这种方法在考场上肯定是不可行的，而如果我们按照上面介绍的方法计算/(Q的特征值，则只要将为的特征值兄代入多项式中求岀/(A),即可得到/3)的全部特征值，非常方便简捷，这是一种非常有效的方法。最后祝愿大家在考试中能取得理想的成绩，实现考研梦想。