2016考研数学：矩阵乘积的特征值剖析

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1、2016考研数学：矩阵乘积的特征值剖析来源：文都教育在线性代数中，矩阵的特征值和特征向量是一个非常重要的章节，对于考研数学而言，经常在这一部分出大题，因此大家对特征值和特征向量的有关性质、计算方法和证明方法要熟练掌握。对于一些基本的性质，各位考生可以在线性代数教材和相关复习资料上查到，在这里我们要向大家分析介绍的是关于两个矩阵乘积的特征值的一个性质。为此我们首先对分块矩阵的基本运算做一些简单的说明。一、分块矩阵的基本运算分块矩阵是指用若干纵线和横线将一个阶数较高的大矩阵划分为许多小矩阵所得的矩阵，这样做的目的是为了简化矩阵的分析和计算。例1.；

2、例2.；例3.，此时.分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似，现简略说明如下：1、加法运算：设分块矩阵，其中的行数相同、列数相同，分别表示分块矩阵的行数和列数，则其和为.31、数乘运算：设，是一个数，则.2、乘法运算：设，其中的列数分别等于的行数，则，其中（，）.一、矩阵乘积的一个性质性质：设都是阶矩阵，则证明：我们采用分块矩阵法进行证明。由分块矩阵乘法得，两边取行列式得，故，因此，例4.若都是阶矩阵，且可逆，证明：可逆。证：由上面的性质可得，若可逆，则，因此，可逆。二、矩阵乘积的特征值的一个性质性质：设都是阶矩阵，则与有相同的特征值。证

3、：只要证明与的特征多项式相等即可，即.若，则；3若，则注：上面结论也可直接运用分块矩阵法进行证明，即由，两边取行列式得，故.关于矩阵的特征值和特征向量的一般性质和计算方法的归纳总结，各位考生可以参考文都教育的“考研数学复习大全”资料，另外，为了熟练掌握其方法和提高运算能力，大家还应该适当多做些习题，这方面可以参考练习文都教育的考研数学“接力题典1800”上的相应习题，做到熟能生巧。最后预祝各位学子在2016考研中取得成功。3