动态最优化第3讲 变分法的基本问题

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1、动态最优化方法——第3讲变分法的基本问题第三讲变分法的基本问题（一）基本形式TMax或MinVyFt,yt,ytdt0S.T.（满足）：y0A（A给定）yTZ（T,Z给定）产生V[y]的一个极值（最大值或最小值）的一条光滑路径y被称为极值曲线第三讲变分法的基本问题（二）欧拉方程的推导（1）极值曲线的必要条件*pt设有一极值曲线yt，任意取一条扰动曲线，且p0pT0，把扰动曲线乘上一个很小的数得极值曲线的邻近路径*ytytptyyty*t

2、ptZA*ytpt0tT第三讲变分法的基本问题（二）欧拉方程的推导（1）极值曲线的必要条件每一个将确定一条邻近路径y，0意味着极值曲线y*t从而确定Vy的一个特定值所以：VV由于极值曲线将产生V的一个极值点，所以有：（极值曲线的必要条件）dV0d0第三讲变分法的基本问题（二）欧拉方程的推导（2）几个求导和积分法则1）莱布尼茨法则b定积分：IxFt,xdta有：dIbFt,xbdtFt,xdtxdxaxa2）积分上下线求导法则b定积分：Jb,a

3、Ft,xdta有：dJdJFt,xFb,xFt,xFa,xtbtadbda第三讲变分法的基本问题（二）欧拉方程的推导（2）几个求导和积分法则3）积分上限包含变量的求导bx定积分：KxFt,xdta有：dKbxFt,xdtFbx,xbxxdxa4）分部积分法则bbbavduvuaaudv第三讲变分法的基本问题（二）欧拉方程的推导（2）几个求导和积分法则算例：求下列定积分关于x的导数bxt（1）Iedta2x2（2）I3tdt

4、02xx（3）Itedt0第三讲变分法的基本问题（二）欧拉方程的推导（3）推导欧拉方程1）把目标泛函TVyFt,yt,ytdt0改变为：T**VFt,ytpt,ytptdt0利用莱布尼茨法则求导，并令其等于0，得：dVTFTFdyFdy0dt0dtdydydTFptFptdt0yy0第三讲变分法的基本问题（二）欧拉方程的推导（3）推导欧拉方程2）利用分部积分法则：T

5、TdFTdFTyy0FyptdtFypt00ptdt0ptdtdtdt极值曲线的必要条件为：TTdFyFptFptdtptFdt00yy0ydt由于pt不全为0，所以必要条件意味着：dFyF0,对于所有t0,Tydt第三讲变分法的基本问题（二）欧拉方程的推导欧拉方程的形式：d（1）FF0,对于所有t0,TyydtFt,yt,yt其中：FyyFt,yt,ytFyy（2）F

6、dtFyy第三讲变分法的基本问题（二）欧拉方程的推导由全导数：dFyFydyFydyFydttydtydtFFy(t)Fy(t)tyyyyy得欧拉方程另种清晰的形式：（3）Fy(t)Fy(t)FF0,yyyytyy对于所有t0,T第三讲变分法的基本问题（三）例子1找出下列泛函的极值曲线22Vy12tyydt0边界条件：y00和y282解：F12tyy欧拉方程：2yt12t0第三讲变分法的

7、基本问题（三）例子1由欧拉方程得通解：3yttCtC（通解）12把边界条件代入：y00和y28解得：C20，C103极值曲线：ytt（定解）第三讲变分法的基本问题（三）例子2找出下列泛函的极值曲线51/2Vy3tydt1边界条件：y13和y571/2解：F3ty13/2欧拉方程：yyt04第三讲变分法的基本问题（三）例子2猜测解为：yC1,从而y0*积分得：ytC1tC2把边界条件代入，解得：C11,C22*

8、极值曲线：ytt2第三讲变分法的基本问题（三）例子3找出下列泛函的极值曲线52Vyty3ydt0边界条件：y00和y532解：Fty3y欧拉方程：2y0第三讲变分法的基本问题（三）例子3*解为：y