动态最优化第4讲 变分法可变端点的横截条件

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1、动态最优化方法——第4讲变分法可变端点的横截条件第四讲变分法可变端点的横截条件（一）固定端点的基本形式TMax或MinVyFt,yt,ytdt0S.T.：y0A（A给定）yTZ（T,Z给定）第四讲变分法可变端点的横截条件（二）可变终结点的形式TMax或MinVyFt,yt,ytdt0S.T.：y0A（A给定）yTy（T,y自由）TT一般横截条件：FyFTFy0ytTytTT第四讲变分法可变端点的横截条件（三）横截条件的推

2、导*假设T是已知的最优终结时间*在T附近的任何时间表示为：*TTTTdT有：Tdt*极值曲线yt的邻近路径：*ytytpt*有：ytytpt其中：p00,pT不受限制（yT自由)第四讲变分法可变端点的横截条件（三）横截条件的推导目标泛函：TVyFt,yt,ytdt0改变为：T**VFt,ytpt,ytptdt0最优化一阶条件：dV0d0第四讲变分

3、法可变端点的横截条件（三）横截条件的推导步骤1：依据定积分求导法则：dVTFdTdtFT,yT,yTd0dTdptFFdtFpTFT00ydtyytTtT令第1项为0，得欧拉方程第四讲变分法可变端点的横截条件（三）横截条件的推导步骤2：消去pT由于：yTpTyTT从而有：pTyyTTT步骤3：把pT表达式代入：FpTFT0ytTtT得到一般横截条件：Fy

4、FTFy0ytTytTT第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（1）垂直终结线（固定时间水平问题）yt=TA0Tt边界条件:y0y,yTy,T固定，y自由0TT垂直终结线意味着：T0横截条件：F0ytT第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（1）垂直终结线（固定时间水平问题）例子：求下列泛函的极值曲线T22Vytydt0边界条件:y04,T2,yT自由*通解：ytCtC12把边界条件y04代入，得：*

5、y0C42第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（1）垂直终结线（固定时间水平问题）横截条件：F2yT0ytT*由通解得：ytC1得：*yTC01极值曲线：*yt4第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（2）水平终结线（固定端点问题）yy=ZA0t边界条件:y0y,yTy,y固定，T自由0TT垂直终结线意味着：yT0横截条件：FyF0ytT第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（2）水平终结线（固定端点

6、问题）例子找出下列泛函的极值曲线T2Vytyydt0边界条件:y01,yT10,T自由*12yttCtC通解：124把y01代入通解，得：*y0C12第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（2）水平终结线（固定端点问题）由：2Ftyy,Ft2yy得横截条件：2FyFTyTyTyTT2yT0ytT2yT0yT0*1对通解求导得：yttC12横截条件代入，

7、得：*11yTTC0CT1122因为yT10，从而：y*T1T2CTC10124极值曲线：*12ytt3t14第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（3）终结曲线（yTgT）yy(T)=g(T)A0t边界条件:y0y,yTgT0终结曲线意味着：ygTT代入一般横截条件，得：FyFFgT0yytT横截条件：FgyF0ytT第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（3）终结

8、曲线例子：找出点（0,1）和线y=2-t之间具有最短距离的曲线T21/2MinVy1ydt0S.T.y01yT2T*由欧拉方程，得通解：ytCtC12由边界条件：y01求得：C12第四讲变分法可变端点的横截条件（四）特殊横截条件（3）终结曲线由横截条件求另一参数21