中国石油大学第二十五届高数竞赛

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1、屮国石油大学（华东）第二十五届高等数学竞赛试卷专业年级：学号：姓名：成绩：说明：1.本试卷正文共6页。2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中,否则答案无效。中国石油大学（华东）教务处、理学院主办基础数学系承办2011年6月5日本页满分28分本页得分一、填空题（每小题4分，本题共20分）:X、-[Xtf（x2-t2）dty2、己矢]z=eX,贝\dz=1、设八初连续,则必。3、函数"=矽+%+瓯在点P=（1,2,3）处沿向量OP的方向导数是在点p处的方向导数取最大值的方向是，

2、该点处方向导数的最大值是od（l-COSX）x2x>04.设函数fesin%+[eldt——,x<0兀连续，则°二2lim(l+3x)sinx5、极限「>0二.选择题（每小题4分，本题共20分）:1、设/（X）是可导函数，则下列各式不成立的是（(A)lim/('V)-/(0)=广(0)x->0(B)lim/«+2力一/@)=fg力t0r（C）lim/（勺）一/（尢0一心）=广（兀0）Av->0AAy(D)limAv->0/Uo+心）一/（兀o—心）=f（牙0）2Axcos4xdx^N=/r/r2sin3x+cos4x)dx.P=J—(Fx-cos4x

3、)dx,(A).N

4、）是g刃的极大值点；（C）点（°°）是2y）的极小值点;（D）根据条件无法判断点（°°）是否为/（兀刃的极值点。5、设丿=y（x）是二阶常系数微分方程w+/»'+ciy=e'x满足初始条件＞?（0）=$（°）=°的ln（l+F）特解，则当兀t°时，函数yM的极限为（）⑷不存在；9）1；©2；（巧3。三、计算下列各题（每小题7分，本题共42分）：r^rctanxdx兀Jl—n本页满分14分本页得分2、求微分方程xdy+（兀一2刃dr=0的一个解＞,=丁（兀），使得由曲线y二y（兀）与兀=1，X=2以及兀轴所围成的平面图形绕兀轴旋转一周所得旋转体的体积最

5、小。3、某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k二6.0X1Q6kg.km/h）•问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注：kg表示千克，km/h表示千米/小时.本页满分14分本页得分c2c24、设具有二阶连续偏导数，且满足5ov199g(x,y)=f[xy,-(x--y-)]又2r求&2勿2口嗣,，其中D={(x,>')：O

6、}.5、计算积分d6、设班七）在［0,+8〉上连续，且满足方程f(t)=1+

7、JJ[z2+f(扌厶2+/)]山四.证明题：（每小题6分,共18分）:本页满分13分本页得分其屮Q由不等^0^z^h,x2+y2<4t2确定，求f(t)1、设y=f^在（一口）内具有二阶连续导数，且/"（x）h°,试证：⑴对于（71）内任一"0,存在惟一的0（恥（0,1）,使得加=于（0）+护（昨）成立。lim^（x）=—.⑵52本页满分12分本页得分2、设/（力在区间〔恥］上连续,且，（兀）＞°,证明:>(b-a)2.3、已知平面区域D=为D的正向边界，证明:⑴扛严vdy

8、_ye-^xdx=xe-^ydy-yesinxdxLL(2)^xe^ydy-ye'^xdx>In2