T分布密度函数之性质

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1、第16卷第5期淮阴工学院学报Vol.16No.52007年10月JournalofHuaiyinInstituteofTechnologyOct.2007t分布密度函数之性质王娟(江苏经贸职业技术学院信息技术系,南京211168)摘要:利用特殊函数的性质,比较详细的分析了t分布密度函数之性质。指出了该密度函数与相应参数之间的变化关系。主要研究了参数n的变化对密度函数的影响,证明了当n增大时t(n)分布的密度函数的极大值也越来越大,还指出了n变化时t(n)分布的相应密度曲线与另一特定密度曲线交点的变化规律。关键词:t分布;密度函数;Γ函数中图分类号:O21

2、1.3文献标识码:A文章编号:1009-7961(2007)05-0015-07SomePropertiesoftheTDistributionDensityFunctionWANGJuan(DepartmentofInformationTechnology,JiangsuInstituteofEconomicandTradeTechnology,Nanjing211168,China)Abstract:Thispaper,byusingthelogarithmicderivativeformulaoffunction,analyzedthecharac

3、tersoftdis2tributiondensityfunctionindetail,andtheeffectsofchangeoftheparameternondensitycurve,andpointedoutthepropertiesofmaximumvalueoftdistributeddensityfunction,andtherelationofdifferentfunctionac2cordingtodifferentparametersn.Keywords:tdistributeddensity;densityfunction;gamm

4、adistribution0引言t分布是一种重要的概率密度分布类型,参数为n的t分布通常用t(n)来表示,其密度函数为fn(x)=n+1Γ()22xn+1-(1+)2(其中n为参数,x∈R,Γ表示Γ函数)nnnπΓ()2本文约定t分布的密度函数为上式。引理1:对于确定的n,fn(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,∞)上有唯一的极大值。n+1Γ()2supfn(x)=fn(x)

5、x=0=(1)x∈(-∞,∞)nnπΓ()222xn+1n+1xn+1---1证明:令g(x)=(1+)2,g'(x)=-x(1+)2,令g'(

6、x)=0,从而x=0。nnnn+1g''(x)

7、x=0=-<0,于是x=0为g(x)在整个实数域上的极大值点。由于:n收稿日期:2007-05-04作者简介:王娟(1981-),女,江苏淮安人,助教,硕士,主要从事概率论与数理统计方面的研究。16淮阴工学院学报2007年n+1n+1Γ()Γ()22fn(x)=g(x);f'n(x)=g'(x),故x=0也是fn(x)的极大值点,并且:nnnπΓ()nπΓ()22当x∈(-∞,0)时,f'n(x)>0,当x∈(0,+∞)时,f'n<0。因此,fn(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减。

8、n+1Γ()2故有supfn(x)=fn(x)

9、x=0=x∈(-∞,∞)nnπΓ()2以下讨论参数n对密度函数的影响和不同参数所对应的概率密度曲线之间的关系。先引进公式:d111Ψ(z)=lnΓ(z)=limlnk-++⋯+,Pz∈(0,∞)(2)dzk→∞zz+1z+kn+1Γ()2记M(n)=supfn(x)=fn(x)

10、x=0=x∈(-∞,∞)nnπΓ()2n+1Γ()2引理2:令Q(m,n)=,Pm∈[0,2],Q(m,n)在(0,+∞)上为n的严格递增函数,nmΓ()n225lnQ(m,n)在(0,∞)上为n的严格递减函数。特别地,当m=1时,

11、Q(1,n)为n的严格递增函数,5n5lnQ(m,n)为n的严格减函数。5n证明:Q(m,n)关于n的连续性,显然,且△5lnQ(m,n)q(m,n)==5n111111m1lim++⋯+-++⋯+-(3)k→∞nn+2n+2km+nm+n+2m+n+2k2n又q(m,n)为(0,∞)×(0,∞)上连续函数,且q(0,n)=q(2,n)=0Pn∈(0,∞)(4)51111q(m,n)=lim2+2+⋯+2-(5)5mk→∞(m+n)(m+n+2)(m+n+2k)2n55由罗尔定理和(4)知vm(n):0

12、m=m(n)=0,又

13、由(5)知q(m,n)为m5m5m55的严格递减函数,从而q(m,n)>0,0<