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《解析几何解题论文：线段的定比分点问题解法探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、线段的定比分点问题解法探究一般地，我们解答直线与圆锥曲线问题，已经形成一种习惯，利用一元二次方程的判别式研究范I韦I,利用根与系数的关系研究有关参数的关系，还美其名曰“设而不求”，事实上,“设而求”也可能比“设而不求”更加简单，避开了一元二次方程的判别式与根与系数的关系研究有关参数的关系，也许另有一种更好的解法等待着你去探究，不信请看下面的例题:XC例1、己知椭圆方程为一+才=1,过定点P（0,2）的直线交椭圆于不同的两点ULIUUL4、B（在A、P之间），且满足PB=APA,求久的取值范围.解析1:设&B的方程为y=kx+2,人匚3（兀2，丁2），则UU一2),UULUUVU
2、UVPB=(x2,y2-2),由PB=APA,得儿21由+二'得(l+2p2)F+8£+6=0.又4=64疋一24(1+2疋)=0>0,得由根与系数关系，占+尢2二Sk6-1+2疋’恥2_1+2疋・把X2=/U］代入兀
3、+兀2=1+2疋,v1+2疋有吩1+2/由（1）、（2）可以消去占得到含有入£的关系式，这个过程比较复杂，这个关系式是32k1_(14-A)23(1+2/)一~'或者变为冠1_3(1+2/)16-32k1A(1+莎由①，可以求得為讣计’于是建立了关于无的不等式侖冷，又0＜",解得-<2<1.3当仙没有斜率时，“3,所以亍"＜1・解析2：构造；［+丄=理+玉=（西
4、+心），如此可以直接把召+无2=-一雀ZXjx2XjX2一1+21crio炎232硝+2)由解法1知:疋＞
5、,可以求得2＜吋呼又0＜八1,解得•当AB没有斜率时,兄斗所•以*“•解析3：设A(x[yy}),B(x2.y2),则UUUULULIPA=(x,,y{-2),PB=(x2.y2-2),rhPB=APA,得LILIx2=Ax{,旳一2=A(j,-2).2又A(x,,^),B(x2,y2)在—+y2=1±,所以互丄2<+.2£=1-事实上仅用以上这四个等式就可以求出2与心儿吃？2中任意一个的关系.“2二吋代入得到八厂亍环一2=1.(2)f+X=l，(1)^^+(/1必一2/
6、1+2)2(1)x兄2—(2)得：(无y】)2—(2〉［—22+2尸=—1,(2^-2)(2Ay,-22+2)=A2-1,注意到0v2vl,所以4(兄必一2+1)=2+1,解得_3二寸，注意到小心，所以小52-342“解得*炫，又0<心,所以-<2<1,3解法评价：解法1与解法2都是利用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，是解析几何常用的方法，但是用这种方法必须对直线方程进行讨论，还应注意，有些时候仅仅使用其中的根与系数的关系而没有用根的判别式，但是由于根与系数的关系是从整体上建立有关系数的关系的，所以无法保证实数根的存在性，因此一定要检验判别式大于零.解法3全面利用向量共
7、线所得到两个关系式（横坐标与纵坐标的关系都利用了，而解法1、2实际上只用了横坐标的关系），通过巧妙的解方程，最终把2看成常数，刃看成未知数，用2表示刃，进一步利用必的范围限定久的范围.对于这个题目来说，解法3优于解法1、2,因为这种解法避开了分类讨论（这是共线向量的作用），避开了根的判别式（另用了变量的范围，范围，也是圆锥曲线中建立不等式的常用方法，在变量易用参数关系表示的情况下比用判别式简单）.解法3虽然没有用整体思想（这里指解法1、2中对壬+无2与西花的整体代入变形），但是计算量并不大，比解法1、2还要小，而且由于没有新的参数使得字母较少，变形的目标更加明确.因此我们解答直
8、线与圆锥曲线的问题时，不要过分依赖一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，当解方程组比较简单时，不妨直接求出有关未知数的解，然后利用未知数的取值范圉建立不等式.例2、如图1,已知椭圆长轴端点为4、B,眩EF与AB交于点D,原点0为椭圆中心，且ClUUlUUU1jr0D=,2DE+DF"ZFDO=—•求椭圆长轴长的取值范围.4解：设椭圆方程为二+寿=1atra>b>0),设£；(壬,刃)，F(x2,y2),由UU1UULIW2DE+DF=0得：2(^+l,y1)+(x2+l,y2)=(0,0),即2兀］+吃+3=0,2牙+%=0,=1.联立四个等式先消去七,力冇：S：3)+学9
9、CT1,-/_3""4-
