2017学年八年级数学下册2.6菱形学习要点素材（新版）湘教版

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1、《菱形》学习要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形是特殊的平行四边形，对于它的定义要注意满足两个条件：（1）首先应该是平行四边形；（2）有一组邻边相等。菱形的定义可以用来判断一个四边形是不是为菱形。例题1、如图1所示，已知四边形ABCD是平行四边形，要使之是菱形，需要添加的条件（不再添加任何辅助线）是。解：由图形和菱形的定义可以知道，应该添加的条件是：AB=BC（BC=CD、CD=DA、DA=AB）。此题的答案不唯一，所添加的条件只要符合菱形的定义即可。例题2、如图2所示，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，MG⊥BA，MD⊥AC，GF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为

2、G、D、F、E，GF与DE相交于H，试说明：四边形HGMD是菱形分析：利用菱形的定义，先说明四边形HGMD是平行四边形，再说明Rt△BGM≌Rt△CDM，得GM=DM，就可以说明四边形HGMD是菱形了。解：因为MD⊥AC，GF⊥AC，所以MD∥GF，同理MG∥DE，所以四边形HGMD为平行四边形。由AB=AC，则∠B=∠C，又BM=MC，因为MG⊥BA，MD⊥AC，所以△BMG和△CMD都是直角三角形，所以Rt△BGM≌Rt△CDM，所以MG=MD，所以四边形HGMD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形）。二、菱形的性质菱形的性质有两条：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相

3、垂直，并且每条对角线都平分一组对角。例题、如图所示，在菱形ABCD中，两条对角线的长度之比是3：4，它们的差是2cm，求菱形的面积。解：在菱形ABCD中，AC：BD=3：4，则BD=AC，因为BD－AC=2cm，所以AC－AC=2cm，即AC=6cm，BD=8cm。因为菱形的对角线相等并且互相垂直平分，所以Rt△ABO≌Rt△BCO≌Rt△CDO≌Rt△DAO，AO=CO=3cm，BO=DO=4cm，所以菱形ABCD的面积是AO×BO×4=×3×4=6。三、菱形的判定菱形除了可以用它的定义来判断之外，还有另外两个判断定理：（1）四条边相等的四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、。例题1、如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别相交于E、F、O。试说明四边形AFCE是菱形。分析：在四边形AFCE中，已有对角线EF⊥AC，要说明四边形AFCE是菱形，只需说明四边形AFCE是平行四边形即可。解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，所以AO=OC，所以△AOE≌△COF，所以OF=OE，因为OA=OC，所以四边形AFCE是平行四边形。又EF⊥AC，所以平行四边形AFCE是菱形。例题2、如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，说

5、明四边形EFGH为菱形的理由。解：因为在△ABC中，AE=BE，BF=CF，所以EF=AC。同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。又因为AC=BD，所以EF=FG=GH=HE，所以四边形EFGH为菱形（四条边相等的四边形是菱形）。