机器人学—数学基础

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1、机器人运动学及其数学基础周序星期节次授课方式教学（授课或讨论）内容授课地点备注4二5~6课堂讲授机器人学的数学基础：位置与姿态描述，齐次坐标变换、齐次变换矩阵及其几何意义A414五7~8课堂讲授机器人的结构参数和坐标系的建立，D-H矩阵A415二5~6课堂讲授机器人运动学正解，机器人运动学逆解A415五7~8课堂讲授机器人的微分运动及其变换，机器人的误差及其补偿A412011年春季学期教学日历参考教材[美]付京逊《机器人学》[中南大学]蔡自兴《机器人学》[美]理查德·鲍尔《机器人操作手·数学·编程与控制》参考教材[美]付京逊《机器人学》美籍华人（台湾）普渡大学（PurdueU

2、niversity）电机工程专业著名教授4部著作、400多篇论文第一任国际模式识别学会会长，被誉为自动模式识别之父1985年去世参考教材[中南大学]蔡自兴中南大学教授，我国人工智能和机器人领域著名专家中国人工智能学会智能机器人专委会理事长曾与付京逊教授一起工作过机器人→工作→动作第一章机器人位置和姿态的描述串联机器人可以用一个开环关节链来建模由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具（末端执行器），用以操纵物体，或完成各种任务关节的相对运动导致杆件的运动，使末端执行器定位于所需要的方位上在一般机器人应用问题中，人们感兴趣的是：末端执行

3、器相对于固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人的运动学问题机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系动画示例运动学研究的问题Whereismyhand?DirectKinematicsHERE!HowdoIputmyhandhere?InverseKinematics:Choosetheseangles!运动学正问题运动学逆问题哈佛大学RogerBrockett建立的指数积公式运动学滚动接触非完整控制数学基础-刚体运动参考文献：机器人操作的数学导论作者：理查德·摩雷李泽湘夏卡恩·萨斯特里翻译：徐卫良钱瑞明（东南大学）研究运动学的方法195

4、5年丹纳维特（Denavit）和哈顿伯格（Hartenberg）提出了一种采用矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法，其数学基础即是齐次变换具有直观的几何意义能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题为以后的比例变换、透视变换等打下基础第二章数学基础—齐次坐标和齐次变换2.1点和面的齐次坐标2.1.1点的齐次坐标一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。引入齐次坐标的目的是为了表示几何变换的旋转、平移和缩放式中i,j,k为x,y,z轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为

5、比例系数显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取w=1。列矩阵一个点矢：[例1]：可以表示为：V=[3451]T或V=[68102]T或V=[-12-16-20-4]T齐次坐标与三维直角坐标的区别V点在ΣOXYZ坐标系中表示是唯一的（a、b、c）而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。几个特定意义的齐次坐标：[000n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数[1000]T—指向无穷远处的OX轴[0100]T—指向无穷远处的OY轴[0010]

6、T—指向无穷远处的OZ轴[0000]T—没有意义2个常用的公式：点乘:叉乘:2.1.2平面的齐次坐标平面齐次坐标由行矩阵P=[abcd]来表示当点v=[xyzw]T处于平面P内时，矩阵乘积PV=0，或记为如果定义一个常数m=，则有：=可以把矢量解释为某个平面的外法线，此平面沿着法线方向与坐标原点的距离为。=点和平面间的位置关系设一个平行于x、y轴，且在z轴上的坐标为单位距离的平面P可以表示为：或有：PV=例如：点V=[102011]T必定处于此平面内，而点V=[0021]T处于平P的上方，点V=[0001]T处于P平面下方，因为：与点矢相仿，平面也没有意义2.2旋转矩阵及旋转

7、齐次变换2.2.1旋转矩阵设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw，研究旋转变换情况。①初始位置时，动静坐标系重合，O、O´重合，如图。各轴对应重合，设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点，且固定不变。则P点在ΣO´uvw中可表示为：、、为坐标系ΣO´uvw的单位矢量，则P点在Σoxyz中可表示为：当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系Σoxyz中的位置已知：P点在ΣO´uvw中是不变的仍然成立，由于ΣO´uvw回转，则：用矩阵表示为:（2-7）反过来：2.2.2旋转齐