机器人学的基础理论(一)

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1、第2章机器人学的基础理论（一）2.1刚体的位姿描述2.2齐次坐标与齐次变换2.3机器人的位姿分析2.4机器人正向运动学和逆向运动学2.1刚体的位姿描述2.1.1刚体的旋转运动2.1刚体的位姿描述2.1.2旋转矩阵的性质B相对于A的旋转矩阵Rab：满足6个约束方程：因此3个独立变量决定一个旋转运动。2.1刚体的位姿描述2.1.3旋转矩阵（算子）相乘法则相对于固定坐标系进行运动变换时，旋转变换的顺序从右到左；相对于运动坐标系进行运动变换时，旋转变换的顺序从左到右。矩阵相乘运算不满足交换率。2.1刚体的位姿描述2.

2、1.4欧拉角的旋转矩阵ZYZ欧拉角：在初始时刻，坐标系A和B重合；坐标系B首先绕A的Z轴旋转ɑ角，形成新的坐标系A′；坐标系B首先绕A′的Y轴旋转β角，形成新的坐标系A′′；坐标系B首先绕A′′的Z轴旋转角，达到B的最终状态。2.2齐次坐标与齐次变换2.2.1齐次坐标一、空间任意点的坐标表示在选定的直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可以用31的位置矢量AP表示，其左上标表示选定的坐标系{A}，此时有,式中：PX、PY、PZ是点P在坐标系{A}中的三个位置坐标分量，如图1.1所示。2.2齐次坐标与齐次变换

3、2.2.1齐次坐标一、空间任意点的坐标表示2.2齐次坐标与齐次变换2.2.1齐次坐标二、齐次坐标表示将一个n维空间的点用n+ 1维坐标表示，则该n + 1维坐标即为n维坐标的齐次坐标。取w为比例因子：当取w= 1时，其表示方法称为齐次坐标的规格化形式，即2.2齐次坐标与齐次变换2.2.1齐次坐标三、坐标轴的方向表示w=0：向量w≠0：标量原点o如何表示？2.2齐次坐标与齐次变换2.2.1齐次坐标三、坐标轴的方向表示例1.1用齐次坐标表示图1.3中所示的矢量u、v、w的坐标方向。2.2齐次坐标与齐次变换2.2.

4、2动系的位姿表示在机器人坐标系中运动时相对于连杆不动的坐标系称为静坐标系，简称静系；跟随连杆运动的坐标系称为动坐标系，简称为动系；动系位置与姿态的描述称为动系的位姿表示，是对动系原点位置及各坐标轴方向的描述。何为位置？何为姿态？2.2齐次坐标与齐次变换2.2.2动系的位姿表示一、连杆的位姿表示OXYZ为与连杆固接的一个动坐标系位置：姿态：N---XO----YA----Z2.2齐次坐标与齐次变换2.2.2动系的位姿表示一、连杆的位姿表示连杆的位姿可用下述齐次矩阵表示：2.2齐次坐标与齐次变换2.2.2

5、动系的位姿表示图1.5表示固连于连杆的坐标系{B}位于OB点，XB= 2，YB= 1，ZB= 0。在XOY平面内，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个30°的偏转，试写出表示连杆位姿的坐标系{B}的44矩阵表达式。2.2齐次坐标与齐次变换2.2.2动系的位姿表示noap2.2齐次坐标与齐次变换2.2.2动系的位姿表示二、手部的位姿表示机器人手部的位置和姿态可以用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示:取手部的中心点为原点OB；关节轴为ZB轴，ZB轴的单位方向矢量a称为接近矢量，指向朝外；两手指的连线为YB轴

6、，YB轴的单位方向矢量o称为姿态矢量，指向可任意选定；2.2齐次坐标与齐次变换2.2.2动系的位姿表示二、手部的位姿表示关节轴为ZB轴，ZB轴的单位方向矢量a称为接近矢量，指向朝外；两手指的连线为YB轴，YB轴的单位方向矢量o称为姿态矢量，指向可任意选定；XB轴与YB轴及ZB轴垂直，XB轴的单位方向矢量n称为法向矢量，且n = oa，指向符合右手法则。2.2齐次坐标与齐次变换2.2.2动系的位姿表示二、手部的位姿表示2.2齐次坐标与齐次变换2.2.2动系的位姿表示三、目标物齐次矩阵表示(例)图1.8楔块Q的

7、齐次矩阵表示1让楔块绕Z轴旋转–90°，用Rot(Z，–90°)表示2再沿X轴方向平移4，用Trans(4，0，0)表示，2.2齐次坐标与齐次变换2.2.2动系的位姿表示若让楔块绕Z轴旋转–90°，用Rot(Z，–90°)表示，再沿X轴方向平移4，用Trans(4，0，0)表示，则楔块成为图1.8(b)所示的情况。2.2齐次坐标与齐次变换2.2.3齐次变换旋转的齐次变换如图所示，空间某一点A，坐标为(XA，YA，ZA)，当它绕Z轴旋转角后至A，坐标为(XA，YA，ZA)。A点和A点的坐标关系为2.

8、2齐次坐标与齐次变换2.2.3齐次变换旋转的齐次变换Rot(Z，)表示齐次坐标变换时绕Z轴的转动齐次变换矩阵，又称旋转算子，旋转算子左乘表示相对于固定坐标系进行变换，旋转算子的内容为:绕X轴、Y轴如何？－－－见P362.2齐次坐标与齐次变换2.2.3齐次变换旋转的齐次变换算子左、右乘规则若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；若相对动坐标系进行变换，则算子右乘。例1.4已知坐标系中点U的位置矢量U=