机器人学—数学基础

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时间:2019-05-26

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1、机器人运动学及其数学基础参考教材[美]付京逊《机器人学》[中南大学]蔡自兴《机器人学》[美]理查德·鲍尔《机器人操作手·数学·编程与控制》参考教材[中南大学]蔡自兴中南大学教授,我国人工智能和机器人领域著名专家中国人工智能学会智能机器人专委会理事长曾与付京逊教授一起工作过一机器人位置和姿态的描述Justincatchball串联机器人可以用一个开环关节链来建模由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成一端固定在基座上,另一端是自由的,安装工具(末端执行器),用以操纵物体,或完成各种任务运动学问题:末端执行器位置和

2、姿态关节变量B,H坐标系n位置:H的原点在B坐标oa系中的坐标表示i姿态:H坐标系相对于B坐标系的姿态机器人坐标系的定义GlobalReferencecoordinatesystem(frame)JointReferencecoordinatesystem(frame)ToolReferencecoordinatesystem(frame)运动学研究的两个问题Whereismyhand?运动学正问题DirectKinematicsHERE!HowdoIputmyhandhere?运动学逆问题InverseKinema

3、tics:Choosetheseangles!研究运动学的方法轴线平行时采用几何分析方法轴线平行及相交轴线异面研究运动学的方法1955年丹纳维特(Denavit)和哈顿伯格(Hartenberg)提出了一种采用矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法具有直观的几何意义能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题数学基础是齐次变换二数学基础—齐次坐标和齐次变换2.1点和面的齐次坐标2.1.1点的齐次坐标用n+1个变量表示n维空间的几何元素。引入齐次坐标的目的是为了表示几何变换的旋转、平移和缩放一个点矢:v

4、iajbkc式中i,j,k为x,y,z轴上的单位矢量,xyza=,b=,c=,w为比例系数列矩阵www显然,齐次坐标表达并不是唯一的,随w值的不同而不同。在计算机图学中,w作为通用比例因子TVxyzw,它可取任意正值,但在机器人的运动分析中,总是取w=1。[例1]:V3i4j5k可以表示为:V=[3451]T或V=[68102]T或V=[-12-16-20-4]T齐次坐标与三维直角坐标的区别V点在ΣOXYZ坐标系中表示是唯一的(a、b、c)而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间

5、位置上不变。几个特定意义的齐次坐标:[000n]T—坐标原点矢量的齐次坐标,n为任意非零比例系数[1000]T—指向无穷远处的OX轴[0100]T—指向无穷远处的OY轴[0010]T—指向无穷远处的OZ轴[0000]T—没有意义2个常用的公式:点乘:ababababxxyyzzijk叉乘:abaxayaz(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)kbbbxyz2.1.2平面的齐次坐标平面齐次坐标由行矩阵P=[abcd]来表示当点v=[xyzw]T处于平面P内时,

6、矩阵乘积PV=0,或记为xyPVabcdaxbyczdw0zw222如果定义一个常数m=abc,则有:xyzabcxaybzcd(ijk)(ijk)wwwmmmwmwmwmmabc可以把矢量(ijk)解释为某个平面的外法线,此mmm平面沿着法线方向与坐标原点的距离为(-d/m)。T与点矢0000相仿,平面0000也没有意义点和平面间的位置关系设一个平行于x、y轴,且在z轴上的坐标为单位距离的平面P可以表示为:P0011或P002

7、20v点在平面上方有:PV=0v点在平面上0v点在平面下方例如:点V=[102011]T必定处于此平面内,而点V=[0021]T处于平P的上方,点V=[0001]T处于P平面下方,因为:10200010100110000111021000011--10012.1.3平移变换1、二维坐标平移变换y1y沿坐标轴平移(a,b)。P位于O1坐标系中,O为绝对坐标系P(x1,y1)人(P)坐在汽车里运动xx1a

8、ayyb1o1x111bxx110ax1oxyTy01by11110011z2、三维坐标平移变换cw′沿坐标轴方向平移(a,b

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