高等数学中洛必达法则的教学研究

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1、高等数学中洛必达法则的教学研究【摘要】洛必达法则是求极限的一种重要而有效的方法•在教学实践中，笔者发现传统的教学安排教学效果并不好•本文分析了其中的原因，并针对工科学生的特点对洛必达法则的教学进行了深入研究，釆用“先使用，后证明”的教学方式进行教学，并对洛必达法则使用中容易出错的地方进行了分析和改进.【关键词】高等数学；洛必达法则；教学研究高等数学的通用教材是同济大学数学系编写的《高等数学》，该书冃前已是第七版•这本教材条理清晰，数学逻辑强，但有时完全按课本的安排教学效果并不是最好的•比如在讲“导数的应用”这一节的内容时，洛必达法则的教学通常是定理介绍一

2、定理证明f定理的应用，这样的顺序是数学思维发展的要求，对数学的学习是合理而且科学的•奇怪的是，照这样的顺序来教学，教学效果并不好.不妨来分析一下原因•按照课本的安排，我们至少需要一个课时的时间来给出定理的内容，并对定理进行证明•而洛必达法则的证明要用到柯西中值定理，对学生而言，并不是很容易理解•当学生集中注意力来听完一个证明，大家的思想普遍会有一个放松，待第二课时來介绍定理的应用,学生的注意力明显没有第一课时那么集中，很容易只顾表面，而忽视洛必达法则的使用条件•一个课时要介绍洛必达法则在各类未定式求极限中的使用，时间紧，内容多，学生不容易完全接受，这是造

3、成教学效果不好的主要原因.对理工科的学生而言，应侧重于例题的讲解和练习.在洛必达法则的引入上，为了能激发学生的兴趣，可以借用文学里常用的“倒叙”手法，先使用，后证明.先给出一个“00”例题，让学生去求极限.例1求limx-^asinx-sinax-a・在大家费了九牛二虎之力求出答案后，教师直接把分式极限转化为对分子分母各自求导后再求极限•求解如下：limx-^asinx-sinax-a^limx-^acosxl^cosa・这时大部分学生都会很吃惊，进而就会产生兴趣，想弄明白为什么可以这么求.先不作证明，接下来再给一个“88”的例子，要求学生去求极限.例2

4、求limx^+°°lnxxn.这个题用以前学过的方法比较困难•这吋部分学生会使用以前的方法求，部分学生会依葫芦画瓢，把题日转化为分子分母各自求导后再求极限.最后学牛发现两种方法求出来结果是一样的•学牛会更吃惊，学习的兴趣也就更浓.这时再引出定理1和定理2,并对定理进行分析和证明•重点强调定理的条件：(1)limx—af(x)=0(或8),limx-^ag(x)=0(或8)；(2)f(x)和g(x)在x=a的某个去心邻域内可导；(3)limx^af7(x)gr(x)=A(或°°)・则limx-^af(x)g(x)=limx->afz(x)g'(x)=A(或

5、8),X->OO时定理同样成立.并注意定理的延伸，可以提问：“若一次求导后不能求出极限而乂满足洛必达法则的条件又该怎么做？”引导学生得出limx-af(x)g(x)二liiux—eif'(x)g'(x)二limxfQf"(x)gr,(x)二….注意强调反复使用洛必达法则的条件•此时学生对洛必达法则的使用已经有了清晰的认识，可以回到刚才给出的例题，结合例题，分析巩固使用洛必达法则求00和88两类最基本类型的极限.第二个课时，则是洛必达法则使用的拓展.00和800是最基本的类型,除了这两种，还有0?8,00-00,00,8°,18等类型的未定式・？©冼T炊去

6、娇梢圆扇【？过恒等变形，化成00和88后再使用洛必达法则•通常分为三类来处理.(1)0?8型•根据“无穷小的倒数是无穷大”化成00或800型，再使用洛必达法则•转化遵循“复杂置上”的原则，即形式复杂、求导复杂的函数放在分子上，形式简单，求导容易的函数放在分母上，尽可能保证分母部分求导简单•这样可以减少计算错误.(2)型•这通常会出现分式运算，如果没有分式要尽可能转化为分式，通分后进一步转化为00型，再使用洛必达法则.(3)00,80,18也称幕指类型，是使用洛必达法则中较为复杂的类型•课本上的方法是“先取对，求极限，再代值”，但使用这个方法时，经过繁杂的

7、运算，很多学生会忘记“代值”这一步，求出对数的极限后就以为得到了答案，因此常常出错•事实上，为了避免代值，这种类型的题我们可以根据指数函数和对数函数的关系做恒等变形，再利用连续函数的性质，一步到位，解法更为简捷.洛必达法则在求极限的问题中占有很重要的作用，方法虽好，但不能滥用，在洛必达法则的教学中，有两点要注意强调.(1)使用前判断是否满足定理的条件•如课本134页例2,每次使用洛必达法则前都耍判断是否是00或88型，否则不能用；(2)有的式子极限存在，但不能用洛必达法则，我们称之为“洛必达法则失效”・例如limxf8x+sinxx,它的极限存在，而使用

8、洛必达法则，极限不存在•这是因为使用时违背了定理的第三个条件limx-af,(x