高等数学方明亮33洛必达法则

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1、在第一章求极限时，我们遇到过许多无穷小量之比或无穷大量之比的极限．我们称这类极限为未定式．（IndeterminateForm)例如，都是无穷小量之比的极限。又如，都是无穷大量之比的极限。它们不能用“商的极限等于极限的商”的规则进行运算，但可用下面介绍的洛必达法则来求这类极限.8/29/20211第三节洛必达法则第三章（L’Hospital’sRule）三、其他类型的未定式二、型未定式的洛必达法则一、型未定式的洛必达法则四、小结与思考练习8/29/20212一、型未定式洛必达法则存在(或为)定理1(洛必达法则)8/29/20213(在

2、x,a之间)无妨假设在指出的邻域内任取则在以x,a为端点的区间上满足柯故定理条件:西定理条件,存在(或为)证:8/29/20214定理1中换为之一,推论2若理1条件,则条件2)作相应的修改,定理1仍然成立.洛必达法则推论18/29/20215解:原式注意:不是未定式不能用洛必达法则!例1求8/29/20216解:原式思考:如何求(n为正整数)?例2求8/29/20217二、型未定式的洛必达法则存在(或为∞)定理2.（证明略）(洛必达法则)8/29/20218说明:定理中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.8/29/20219解

3、:原式例4求解:(1)n为正整数的情形.原式例3求8/29/202110(2)n不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数k,使当x>1时,例4求8/29/202111例3.例4.1)例3,例4表明时,后者比前者趋于更快.例如,而用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.说明:8/29/202112例如,极限不存在3)若8/29/202113三、其他类型的未定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化例5求解:原式8/29/202114解:原式通分转化取倒数转化取对数转化例6求8/29/202115解

4、:利用例5通分转化取倒数转化取对数转化例7求8/29/202116解:注意到～原式例8求（补充题）说明:这到题告诉我们，洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，这样可以使运算简捷.8/29/202117分析:为用洛必达法则,必须改求法1用洛必达法则但对本题用此法计算很繁!法2～原式例9求8/29/202118洛必达法则令取对数内容小结8/29/202119习题3－31（偶数题）；2（2）；3课后练习思考练习1.设是未定式极限,如果不存在,是否的极限也不存在?举例说明.极限原式～分析:8/29/2021

5、20分析:原式～～3.8/29/202121则解:令原式4.求8/29/2021225.求下列极限:解:8/29/202123令则原式=解:(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)8/29/202124解:原式=8/29/202125