概率与数理统计第16讲

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1、第五章极限定理下面的强大数定律将(2.1)进行了推广.是n次试验中的成功次数.则在n次独立重复试验中,引入由概率的频率定义知道,对于成功的频率,有§5.2大数律.称随机变量的序列为随机序列(randomsequence).其含义是n很大时,与有非零差距的可能性很小。定义2.1.设是随机序列，是随机变量，如果对任意的0，有则称序列依概率收敛于.记为设随机序列独立同分布，并且有限，则有定理2.1.通常把类似于2.5的结论称为弱大数律(weaklawoflargenumbers).例1.（接§4.1的例1.4)在赌对子时,甲每次下注100元.如果他连续下注n次,证明他的盈利Sn满足和定

2、理2.1得到,n时，证明：用Xi表示甲第i次下注的盈利,则X1,X2,…,Xn独立同分布.由§4.1的例1.4知利用P(Sn>−18n)P(

3、−μ

4、>0.6)于是，P(Sn−18n)=1−P(Sn>−18n)1.说明下注的次数n越多,至少输18n元的概率越大。设是随机序列，是随机变量，定义2.2.如果则称序列以概率1收敛于.wp1或a.s.。记为类似于(2.6)的结果称为强大数律(stronglawoflargenumbers).从强大数律结论(2.6)知道概率的频率定义是合理的。定理2.3.如果wp1.则强大数律结论比弱大数律结论要强:设随机序列独立同分布，并且，则有定理2.2.证

5、明：设p是任意小的正数,事件A1,A2…相互独立,P(Ai)=p.用I[Ai]表示Ai的示性函数，则I[Ai]独立同分布.由强大数律得到：所以说明有无穷个Ai发生的概率是1.例2.在多次独立重复试验过程中,小概率事件必然发生.§5.3中心极限定理强大数律和弱大数律分别讨论了随机序列部分和的依概率收敛和以概率1收敛.中心极限定理讨论对充分大的n,随机变量序列部分和X1+X2+…+Xn的概率分布问题.令Sn=X1+X2+…+Xn.则Sn为n次独立试验中成功的次数,Sn~B(n,p)。从演示看出时,Sn的分布形状很象正态分布。例3.二项分布则{Xj}iid～B(1,p)(两点分布)。独立地

6、重复某一试验，设若{Xj}iidP(),则由§3.4的例4.1知道部分和例4.Poisson(泊松)分布从演示看出时,Sn的分布形状很象正态分布。例5.几何分布部分和设{Xj}独立同分布都服从几何分布上述分布称为帕斯卡分布.可以将Sn=X1+X2+…+Xn设想成第n次击中目标时的射击次数(参考几何分布的背景),于是得到从演示看出时,Sn的分布形状很象正态分布。注：得到第n次成功前失败的次数Y的分布称为负二项分布，易见且Sn=Y+n.定理3.1.（中心极限定理）这里是标准正态分布的分布函数.设随机序列{Xj}独立同分布,有共同的数学期望和方差.部分和Sn=X1＋X2＋…＋Xn,则Sn的

7、标准化依分布收敛到标准正态分布.即对任何x,(3.2)我们把结论(3.2)记成,其中的d表示依分布收敛.中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.中心极限定理的应用:可以用N(0,1)近似计算关于的概率，用N(n,n2)近似计算关于Sn的概率。例6.近似计算当辐射的强度超过每小时0.5毫伦琴(mr)时,辐射会对人的健康造成伤害.设一台彩电工作时的平均辐射强度是0.036(mr/h),方差是0.0081.则家庭中一台彩电的辐射一般不会对人造成健康伤害.但是

8、彩电销售店同时有多台彩电同时工作时,辐射可能对人造成健康伤害.现在有16台彩电同时工作,问这16台彩电的辐射量可以对人造成健康伤害的概率.例6.近似计算(续)近似服从N(0,1)分布,于是解:用Xi表示第i台彩电的辐射量(mr/h),则Xi的数学期望=0.036,方差=0.0081.Sn=X1+X2+…+X16是n=16台彩电的辐射量.题目要求P(Sn>0.5).认为{Xi}独立同分布时,按照定理3.1,例6.近似计算(续)这16台彩电以大约58%的概率会对人造成健康伤害.二项分布的正态近似推论3.3.设Sn～B(n,p),p=1-q∈(0,1),则例7.用正态分布计算二项分布设S

9、n～B(n,p),则Sn近似N(np,npq)分布,设X～N(np,npq),设a,b为非负整数。由中心极限定理,n较大时但是注意Sn是取整数值的，所以上式右端用正态近似和(*)不同。例7.用正态分布计算二项分布(续)为此取折衷，令称为连续性校正。此近似公式应在n充分大时使用，实际规则可以用min(np,nq)>5。例7.用正态分布计算二项分布(续)特别地，某药厂试制了一种新药,声称对贫血的治疗有效率达到80%.医药监管部门准备对100个贫血患者进行此药的