概率与数理统计第05讲

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1、随机变量离散型随机变量连续型随机变量概率分布函数随机变量函数的分布第二章随机变量及其分布§1.1随机变量一．随机变量的概念为了更深入地研究随机现象,就要建立数学模型，随机变量是随机现象的最基本的数学模型.引入了随机变量，我们就可以用随机变量的值表示随机试验的结果在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此引入了随机变量的概念1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）例如掷一颗骰子，观察出现的点数；观察某天从北京下火车的人数；观察昆虫的产卵数2、此外，还有些试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就

2、是说，可以将试验结果数值化正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫运动员的号码一样，二者之间建立了一种对应关系.这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数例1掷一颗骰子,样本空间是用X表示掷出的点数,称X是随机变量表示掷出的点数不超过3是事件并且再看两个例子将X视为上的函数则是事件例1（续）例2在一副扑克的52张中任取一张样本空间的每个样本点表示一张扑克用X表示所取扑克的大小称X是随机变量表示所取到的扑克是3={草花3,黑桃3,红桃3,方块3}是事件将X视为样本空间上的函数则例2（续）可以看出，上述随机试验的每一个结果都对应着变量X的

3、一个确定的取值，因此变量X是样本空间上的实值函数:并且定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件W由此看到，随机试验的结果可以用数量来表示，因此引入随机变量的概念定义1.1通常将随机变量简记为X一般用X，Y，Z，等表示随机变量随机变量X是定义在样本空间上的实值函数:对每一个样本点一个实数，是1、随机变量X随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值2、由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率说明说明3、我们用表示事件表示

4、事件对于实数的集合A,我们用即即4、在许多实际问题中,一个随机变量X的含义是十分清楚的,所以一般不再关心随机变量X在样本空间上是如何定义的.可以认为X的所有取值就是我们的样本空间.只是在必要的时候才将自变元写出来说明引入了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点.就象数学分析中常量与变量的区别那样二．随机变量的意义随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，

5、对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究例3一批产品有50件，其中有8件次品，42件正品，现从中取出6件X表示取出6件产品中的次品数则X就是一个随机变量它的取值为0，1，2，…，6表示取出的产品全是正品这一随机事件表示取出的产品至少有一件是次品这一随机事件例4上午8:00～9:00在某路口观察Y表示该时间间隔内通过的汽车数则Y就是一个随机变量它的取值为0，1，…．表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件注意Y的取值是可列无穷个！表示通过的汽车数大于50辆但不超过100辆这一随机事件例5观察某

6、生物的寿命（单位：小时）Z表示该生物的寿命则Z就是一个随机变量它的取值为所有非负实数表示该生物的寿命大于3000小时这一随机事件表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件注意Z的取值是不可列无穷个例6掷一枚硬币，令则X是一个随机变量注意在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量例7掷一枚骰子，在例1中，我们定义了随机变量X表示出现的点数.我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义等等一.离散型随机变量的概念与性质§2.2离散型随机变量有些随机变量只能取有限个或可列个值，比如，被访问者的性别、年龄、职业;一批产品中次品个数;一个医学

7、试样中白细胞个数;掷两个骰子第一次得到12点的次数;等等定义2.1如果随机变量X只取有限个值或可列个值则称X是离散型随机变量,简称为离散随机变量离散型随机变量的定义设X是离散型随机变量，称离散型随机变量的概率分布定义2.2为X的概率分布;称是概率分布列,简称为分布列离散型随机变量的概率分布也常常用如下方式表达说明离散型随机变量可完全由其分布列来刻划.即离散型随机变量可完全由其可能取值以及取这些值的概率唯一确定分布列具有如下性质用这两条性质判断一个函数是否是概率分布例1从1～10这10个数字中随机取出5个数字，X表示取出的5个数字中的最大

8、值.试求X的分布列即X的分布列为解:X的取值为5，6，7，8，9，10.并且例2将1枚硬币掷3次，X表示出现的正面次数与反面次数之差.试求X的分布列解:X的取值为-3，-1，1，3则X的分布列为例3设离散型