《欧式空间》PPT课件

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1、第八讲欧氏空间线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的内容与方法。知识脉络图解内积欧氏空间欧氏空间的同构标准正交基长度、夹角与正交对称变换正交变换对称矩阵正交矩阵实对称阵正交相似于对角阵正交变换化实二次型为标准形正交子空间正交补空间重点、难点解读本章通过在实数域上的线性空

2、间中引入内积的概念得到欧氏空间，进而讨论了长度、夹角及正交等度量概念，特别是引入了欧氏空间的标准正交基这一结构特征。利用标准正交基的特性，可以使许多问题变得非常简单，这是引入标准正交基的好处。要求准确理解和掌握标准正交基的概念及基本性质，能熟练运用施密特正交化方法由一组基求出标准正交基。欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵

3、之间的关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵Q，使为对角阵，以及以另一种形式出现的同一个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会求某些子空间的正交补。一、内积的构造、判定与证明1、欧氏空间的概念设V是实数域R上的线性空间。如果对V中任意两个向量有一个确定的实数与它们对应，且满足（1）（2）（3）（4）当且仅当时则称为与

4、的内积，定义了内积的线性空间V称为欧氏空间。一些常见的欧氏空间（1）－－对于实向量内积为5、正交向量组的性质（1）当与正交时，（2）如果两两正交，则（3）两两正交的非零向量组是线性无关的。6、度量矩阵的概念设V是维欧氏空间，是V的一组基，则称为基的度量矩阵。7、度量矩阵的性质（1）设在基下的坐标分别为则其中是基的度量矩阵，这表明任意两个向量的内积可以通过坐标和度量矩阵的乘积表示出来，即度量矩阵完全确定了内积；（2）度量矩阵是对称正定的；（3）设是V的另一组基，且由基到的过渡矩阵为C，则基的度量矩阵A和基

5、的度量矩阵B满足即不同基的度量矩阵是合同的，且合同变换矩阵是两组基得过渡矩阵。8、构造内积的方法在实线性空间V中构造内积使之构成欧氏空间，通常采用如下两种方法：（1）直接构造：对任意，直接构造二元实函数，并验证其满足内积的四条公理。其中则易验证是V的内积。（2）由正定矩阵确定内积：若V为维实线性空间，任取V的基，以及阶正定矩阵A，定义：上面构成内积的两种方法实质上是一回事。这是由于度量矩阵是正定矩阵，方法（2）由正定矩阵确定内积时，基的度量矩阵恰为正定矩阵。所以上述两种方法可以说前者是由二元函数确定度量

6、矩阵，后者是由度量矩阵确定二元函数。但值得注意的是，在同一组基上以不同的正定矩阵为度量矩阵得到的是不同的欧氏空间。例1、试利用正定矩阵确定的一个内积。解取的基及正定矩阵对任意，其中令则就是的一个内积。例2、在维欧氏空间V中，证明：（1）不同基的度量矩阵彼此合同；（2）度量矩阵是正定矩阵。证设，分别是V的基和的度量矩阵，又设其中是由基到基的过渡矩阵。法1（1）由于所以此即法2（1）对任何，若在基下的坐标分别为和；在基下的坐标分别为和，则由坐标变换公式知且有因此，即A与B合同。（2）任取则且从而故度量矩阵A

7、是正定矩阵。例3、设是欧氏空间V的个向量，用V的内积构造出的阶行列式称为的Gram行列式，证明：线性无关的充分必要条件是证设有实数，使得分别用与之作内积得该齐次线性方程组的系数矩阵恰为，于是线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解，即例4、设是欧氏空间V的一个非零向量，满足条件证明：线性无关。证设有实数，使得且假定令则由已知条件和假定条件知，上式右端非正，即但由内积的定义知，从而，即有于是由已知条件和假定条件知结合上两式得从而故线性无关。二、标准正交基的求法维欧氏空间V必存在正交基与标准正交基

8、。1、标准正交基的有关结果设V是维欧氏空间，是V的一组标准正交基，则（1）标准正交基的度量矩阵是单位矩阵；（2）设，且在基下的坐标为则（3）V中任意向量在基下的坐标为（4）标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。又若两组基的过渡矩阵是正交矩阵，且其中一组基是标准正交基，则另一组基也是标准正交基。2、求标准正交基的方法方法1正交化方法设是维欧氏空间V的一组基，先用Schmidt正交化方法将其正交化，得到一组正交基再单位化得到V的一组标准正