欧式空间习题课件

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1、第九章欧式空间习题1．(填空)设为n维欧氏空间V中的基,在此基下向量坐标分别为与,则内积的充分必要条件是。（是V的标准正交基）2．(填空)是有限维欧氏空间的子空间，存在，使得的充分条件是子空间的维数之间满足。（3．对角矩阵为正交矩阵的充分必要条件是（对角线上的元素为±1）。4．（证明）设A与B是欧氏空间V的两个线性变换，并且对任意有，证明AV与BV作为欧氏空间是同构的。证明：AV与BV均是欧氏空间V的子空间，因而对于V的内积来说作成欧氏空间。令，则是一个映射；因为任取，若得，从而有即可证是单射，又是满射，现证是线性的；，有，再

2、证保持内积不变；，有所以即，从而是同构映射，AV与BV作为欧氏空间是同构的。5．（证明）设V是实数域R上的n维欧氏空间，是V的一组基，是R中的n个数。证明：存在唯一向量使得内积。证明：设内积关于基下的度量矩阵为A，且设（）;则，所以从而=，所以满足条件的是存在的。再证唯一性;设存在，也有，则，从而有，可推出即。6．（证明）设，，是欧氏空间中的两组向量，如果，则与同构。证明：先证；设且为V1的基，设，因为，所以==，。由线性无关，得同理可证，所以，即与同构。6．若对于n个非零数二次形都有则二次形是正定二次形。8．求证：在欧氏空间

3、中，两个向量的模相等当且仅当。9．若A为n阶实对称矩阵，且,证明：存在A为n阶正交矩阵U，使得10．证明：欧氏空间V的每一个子空间W，都有唯一的正交补。证明：如果W={0}，那么W的正交补就是空间V，唯一性显然成立；设W≠{0}；欧氏空间的子空间在所定义的内积之下也是一个欧氏空间，在W中取一组正交基