欧式空间习题课件

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1、第九章欧式空间习题1.(填空)设为n维欧氏空间V中的基,在此基下向量坐标分别为与,则内积的充分必要条件是。(是V的标准正交基)2.(填空)是有限维欧氏空间的子空间,存在,使得的充分条件是子空间的维数之间满足。(3.对角矩阵为正交矩阵的充分必要条件是(对角线上的元素为±1)。4.(证明)设A与B是欧氏空间V的两个线性变换,并且对任意有,证明AV与BV作为欧氏空间是同构的。证明:AV与BV均是欧氏空间V的子空间,因而对于V的内积来说作成欧氏空间。令,则是一个映射;因为任取,若得,从而有即可证是单射,又是满射,现证是线性的

2、;,有,再证保持内积不变;,有所以即,从而是同构映射,AV与BV作为欧氏空间是同构的。5.(证明)设V是实数域R上的n维欧氏空间,是V的一组基,是R中的n个数。证明:存在唯一向量使得内积。证明:设内积关于基下的度量矩阵为A,且设();则,所以从而=,所以满足条件的是存在的。再证唯一性;设存在,也有,则,从而有,可推出即。6.(证明)设,,是欧氏空间中的两组向量,如果,则与同构。证明:先证;设且为V1的基,设,因为,所以==,。由线性无关,得同理可证,所以,即与同构。6.若对于n个非零数二次形都有则二次形是正定二次形。

3、8.求证:在欧氏空间中,两个向量的模相等当且仅当。9.若A为n阶实对称矩阵,且,证明:存在A为n阶正交矩阵U,使得10.证明:欧氏空间V的每一个子空间W,都有唯一的正交补。证明:如果W={0},那么W的正交补就是空间V,唯一性显然成立;设W≠{0};欧氏空间的子空间在所定义的内积之下也是一个欧氏空间,在W中取一组正交基

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