欧式空间ppt课件

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第八讲欧氏空间线性空间中，向量之间的基本运算只有加法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的内容与方法。 知识脉络图解内积欧氏空间欧氏空间的同构标准正交基长度、夹角与正交对称变换正交变换对称矩阵正交矩阵实对称阵正交相似于对角阵正交变换化实二次型为标准形正交子空间正交补空间 重点、难点解读本章通过在实数域上的线性空间中引入内积的概念得到欧氏空间，进而讨论了长度、夹角及正交等度量概念，特别是引入了欧氏空间的标准正交基这一结构特征。利用标准正交基的特性，可以使许多问题变得非常简单，这是引入标准正交基的好处。要求准确理解和掌握标准正交基的概念及基本性质，能熟练运用施密特正交化方法由一组基求出标准正交基。 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵Q，使为对角阵，以及以另一种形式出现的同一个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会求某些子空间的正交补。 一、内积的构造、判定与证明1、欧氏空间的概念设V是实数域R上的线性空间。如果对V中任意两个向量有一个确定的实数与它们对应，且满足（1）（2）（3）（4）当且仅当时则称为与的内积，定义了内积的线性空间V称为欧氏空间。一些常见的欧氏空间（1）－－对于实向量内积为 5、正交向量组的性质（1）当与正交时，（2）如果两两正交，则（3）两两正交的非零向量组是线性无关的。6、度量矩阵的概念设V是维欧氏空间，是V的一组基，则称为基的度量矩阵。 7、度量矩阵的性质（1）设在基下的坐标分别为则其中是基的度量矩阵，这表明任意两个向量的内积可以通过坐标和度量矩阵的乘积表示出来，即度量矩阵完全确定了内积；（2）度量矩阵是对称正定的；（3）设是V的另一组基，且由基到的过渡矩阵为C，则基的度量矩阵A和基的度量矩阵B满足即不同基的度量矩阵是合同的，且合同变换矩阵是两组基得过渡矩阵。 8、构造内积的方法在实线性空间V中构造内积使之构成欧氏空间，通常采用如下两种方法：（1）直接构造：对任意，直接构造二元实函数，并验证其满足内积的四条公理。其中则易验证是V的内积。（2）由正定矩阵确定内积：若V为维实线性空间，任取V的基，以及阶正定矩阵A，定义： 上面构成内积的两种方法实质上是一回事。这是由于度量矩阵是正定矩阵，方法（2）由正定矩阵确定内积时，基的度量矩阵恰为正定矩阵。所以上述两种方法可以说前者是由二元函数确定度量矩阵，后者是由度量矩阵确定二元函数。但值得注意的是，在同一组基上以不同的正定矩阵为度量矩阵得到的是不同的欧氏空间。例1、试利用正定矩阵确定的一个内积。解取的基及正定矩阵对任意，其中 令则就是的一个内积。例2、在维欧氏空间V中，证明：（1）不同基的度量矩阵彼此合同；（2）度量矩阵是正定矩阵。证设，分别是V的基和的度量矩阵，又设其中是由基到基的过渡矩阵。 法1（1）由于所以此即法2（1）对任何，若在基下的坐标分别为和；在基下的坐标分别为和，则由坐标变换公式知 且有因此，即A与B合同。 （2）任取则且从而故度量矩阵A是正定矩阵。例3、设是欧氏空间V的个向量，用V的内积构造出的阶行列式称为的Gram行列式，证明：线性无关的充分必要条件是 证设有实数，使得分别用与之作内积得该齐次线性方程组的系数矩阵恰为，于是线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解，即 例4、设是欧氏空间V的一个非零向量，满足条件证明：线性无关。证设有实数，使得且假定令则 由已知条件和假定条件知，上式右端非正，即但由内积的定义知，从而，即有于是由已知条件和假定条件知结合上两式得从而故线性无关。 二、标准正交基的求法维欧氏空间V必存在正交基与标准正交基。1、标准正交基的有关结果设V是维欧氏空间，是V的一组标准正交基，则（1）标准正交基的度量矩阵是单位矩阵；（2）设，且在基下的坐标为则（3）V中任意向量在基下的坐标为（4）标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵。又若两组基的过渡矩阵是正交矩阵，且其中一组基是标准正交基，则另一组基也是标准正交基。 2、求标准正交基的方法方法1正交化方法设是维欧氏空间V的一组基，先用Schmidt正交化方法将其正交化，得到一组正交基再单位化得到V的一组标准正交基方法2初等变换法设V的基的度量矩阵为A，则A为正定矩阵，故由初等变换可求得可逆矩阵C，使得。再以C为过渡矩阵，由得到一组新基，即 则的度量矩阵就等于，所以是V的一组标准正交基。注一般来说用正交化方法较初等变换法简单些，因为它不涉及具体的度量矩阵，且计算有规律，但须特别注意空间的内积。例1、设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵是求V的一组标准正交基。 解采用初等变换法，由于…………………………………令则 又令即所以为V的一组标准正交基。例2、在欧氏空间中，其内积令求使成为的标准正交基。解已是两两正交的单位向量。令则由得 求得基础解系它们与正交，但本身只是线性无关的。正交化得再单位化为的标准正交基。则 三、正交补空间的计算与证明1、正交子空间与正交补的概念（1）设是欧氏空间V的两个子空间，如果且对任意恒有，则称与子空间正交，记为；如果对任意和任意都有则称与正交，记为（2）如果，且，则称为的正交补，记为2、正交子空间的有关结果（1）如果欧氏空间V的子空间两两正交，则是直和；（2）有限维欧氏空间V的每一个子空间W都有唯一的正交补，且 （3）在维欧氏空间V的子空间W中取一组正交基将其扩充为V的正交基则3、求正交补空间的方法（1）利用正交补空间的结果（3）；（2）若，利用来确定中的向量例1、证明：维欧氏空间的每一个子空间的正交补空间是唯一的。证设。当时，。当时，当时，取的一组正交基再扩充为V的一组正交基，则 再证唯一性。设都是的正交补，则下证对，有，其中，且所以从而此即类似可证故例2、设是维欧氏空间V的子空间，且的维数小于的维数，证明：中必有一非零向量正交于中的一切向量。证设，且，则令则由维数定理知这是因为 但，于是即此即从而存在非零向量即四、正交变换与对称变换的判定与证明1、正交变换的充要条件是欧氏空间V的正交变换的充分必要条件如下：（1）（2）（3）若是V的标准正交基，则也是V的标准正交基； （4）在V的任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵。2、正交变换的性质（1）正交变换是可逆的，其逆变换也是正交变换；（2）两个正交变换的乘积仍是正交变换。3、对称变换若是欧氏空间V的线性变换，都有则称是V的对称变换。4、对称变换的性质（1）对称变换的本征值都是实数，属于不同本征值的本征向量彼此正交；（2）若欧氏空间V的子空间W是对称变换的不变子空间，则也是的不变子空间； （3）欧氏空间V的线性变换是对称变换的充分必要条件是在V的任一标准正交基下的矩阵是对称矩阵；（4）设是欧氏空间V的对称变换，则存在一组标准正交基，使在该组基下的矩阵为对角矩阵。5、判断正交变换与对称变换的方法判断欧氏空间的线性变换为正交变换或对称变换，除了利用定义之外，也常利用有关的等价条件。例1、对于的线性变换证明：（1）若A是正交矩阵，则是正交变换；（2）若A是对称矩阵，则是对称变换。证对任意，当A是正交矩阵时，有可见是正交变换。 当A是对称矩阵时，有故是对称变换。证对，有，于是所以，故又因故例2、已知为维欧氏空间V的对称变换，求证：是的正交补。 例3、给定维欧氏空间V的标准正交基设是V的正交变换，是的不变子空间，证明：V的子空间也是的不变子空间。证根据题设条件知由于是的正交变换，所以也是V的标准正交基。又是的不变子空间，所以是W标准正交基，从而任取有故是的不变子空间。 例4、设V是有限维欧氏空间，是V的一个正交变换，记显然与都是V的子空间，证明：证先证。则且有所以再证是直和。又因为且，又 故五、化简对称变换的矩阵设是维欧氏空间V的对称变换，化简对称变换的矩阵的步骤如下：第一步取V的一组标准正交基，并求在该基下的矩阵A，即这里A是阶对称矩阵。第二步求正交矩阵Q，使得第三步由确定V的另一组标准正交基，则在该组基下的矩阵为对角矩阵 例1、已知矩阵空间的子空间中的内积为的线性变换为（1）求子空间W的一个标准正交基；（2）证明W是的不变子空间；（3）将看成W上的线性变换，证明是W上的对称变换；（4）求W的一个标准正交基，使在该基下的矩阵为对角矩阵。 解（1）W的一组基为它们已正交，单位化得W的一组标准正交基（2）任取，有，而满足所以故W是的不变子空间。 （3）可求得可见在W的标准正交基下的矩阵为由于A是对称矩阵，所以是W中的对称变换。 （4）可求得从而A的特征值为又对应的特征向量为（已正交）对应的特征向量为故正交矩阵使得 由得W的一组标准正交基在该组基下的矩阵为