07复变函数B卷及答案

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1、安徽大学2006—2007学年第二学期《复变函数》考试试卷(B卷)(时间120分钟)得分院/系专业姓名学号题号—•二三卩L

2、五总分得分-、填空题(每小题4分,共20分)1.指数函数f(Z)=ez的周期为一2.设区域D的边界为围线C,函数/(z)在。内解析,在D=D+C1.连续,则解析函数/(z)可有积分表达式为-3.函数/(z)在区域D内解析,且在D内

3、/(z)

4、fe为常数,则/⑵为。4.设函数/⑵在单位圆忖vl内解析,且满足条件/(0)=0,

5、/(z)

6、<1,则

7、/z(0)

8、<1005.若g=二工—则f(z)在z=l处的泰

9、勒级数展开的半径为(Z+l)(Z-3)n=0得分("为整数)二、计算题(每小题10分,共20分)2.得分三、证明题(每小题10分,共30分)1.设/(Z)是一个整函数,且存在着一•个正整数“以及两个正数与M,使当z>R时,

10、/(z)

11、0使得当忖=R时,

12、/(z)

13、>d,且y(0)

14、

15、d

16、>£时,方程在ez-azn=0单位圆忖vl内有刃个根。得分四、分析题(共10分)设

17、函数/(z)在

18、z

19、vl内除可能有极点外是解析的,在边界

20、z

21、=l上连续。当z

22、=i吋,

23、/a)

24、=io试分析给出函数/(Z)的表达式。五、综合题(共20分)根据所学习的教材内容,叔述判定复变函数为解析函数的多种(至少三种)方法。并尽可能说明其相互Z间的内在逻辑关系。分别举出一个解析和不解析的复变函数,并用至少具屮一种判定方法给了判定。安徽大学2006—2007学年第二学期《复变函数》考试试卷(B卷)参考答案•、填空题(每小题4分,共20分)1、2加2、/(Z3、常数因.f(z)是整函数,则可设=k=O(4分)(10分)(5

25、分)(8分)(10分)(2分)4、15、血二、计算题(每小题10分,共20分)1、解:令z-a=ei0,Q<0<271o则当n=i时,[—dz=r~^ieied0=2m。

26、z

27、=l4Ue当斤为整数一口/H1时,f——dz=^-^ieiedOAjt=z[£cos(7?-1)6W&-讣sin(n-1)61/&]=05z-22、解:血花二严=2加[笛”⑵+陰/⑵]f[(4亠+产辛匚]z(Z-1)=2加(2—2)=0二、证明题(每小题10分,共30分)1、证明:则讣=r(6分)当r>R时ck<-^Mrn又当k>n时,且r>R8时

28、,ck<-^-Mrn0。证毕。(1()分)2、证明:函数于⑵与函数0(z)=/(O)显然在z

29、/(^)

30、>d>

31、0(z)

32、二

33、/(0)

34、o(5分)则由儒歇定理,/⑵与/⑵-0⑵=/(z)-/(0)在

35、^

36、

37、z

38、=l上,有~azn(10分)=a>e>e而-宓"及e'在

39、z

40、51解析。由儒歇定理,N(ez-gz",

41、z

42、=l)=N(-azn,z4、分析题(共10分)1)=7

43、2。证毕。(3分)(5分)(10分)解:首先说明/(z)在

44、z

45、<1内仅有可能有有限个零点和有-限个极点,否则会与零点的孤立性及题设条件矛盾。(2分)再分别设其在

46、z

47、vl内的零点与极点分别为

48、0⑵

49、=1。

50、z

51、vl内0⑵二严。(9分)则/⑵在忖vl的表达式为:他)斗口(中口(净

52、Ujl

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