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1、安徽大学2006—2007学年第二学期《复变函数》考试试卷(B卷)(时间120分钟)得分院/系专业姓名学号题号—•二三卩L
2、五总分得分-、填空题(每小题4分,共20分)1.指数函数f(Z)=ez的周期为一2.设区域D的边界为围线C,函数/(z)在。内解析,在D=D+C1.连续,则解析函数/(z)可有积分表达式为-3.函数/(z)在区域D内解析,且在D内
3、/(z)
4、fe为常数,则/⑵为。4.设函数/⑵在单位圆忖vl内解析,且满足条件/(0)=0,
5、/(z)
6、<1,则
7、/z(0)
8、<1005.若g=二工—则f(z)在z=l处的泰
9、勒级数展开的半径为(Z+l)(Z-3)n=0得分("为整数)二、计算题(每小题10分,共20分)2.得分三、证明题(每小题10分,共30分)1.设/(Z)是一个整函数,且存在着一•个正整数“以及两个正数与M,使当z>R时,
10、/(z)
11、0使得当忖=R时,
12、/(z)
13、>d,且y(0)
14、15、d16、>£时,方程在ez-azn=0单位圆忖vl内有刃个根。得分四、分析题(共10分)设17、函数/(z)在18、z19、vl内除可能有极点外是解析的,在边界20、z21、=l上连续。当z22、=i吋,23、/a)24、=io试分析给出函数/(Z)的表达式。五、综合题(共20分)根据所学习的教材内容,叔述判定复变函数为解析函数的多种(至少三种)方法。并尽可能说明其相互Z间的内在逻辑关系。分别举出一个解析和不解析的复变函数,并用至少具屮一种判定方法给了判定。安徽大学2006—2007学年第二学期《复变函数》考试试卷(B卷)参考答案•、填空题(每小题4分,共20分)1、2加2、/(Z3、常数因.f(z)是整函数,则可设=k=O(4分)(10分)(525、分)(8分)(10分)(2分)4、15、血二、计算题(每小题10分,共20分)1、解:令z-a=ei0,Q<0<271o则当n=i时,[—dz=r~^ieied0=2m。26、z27、=l4Ue当斤为整数一口/H1时,f——dz=^-^ieiedOAjt=z[£cos(7?-1)6W&-讣sin(n-1)61/&]=05z-22、解:血花二严=2加[笛”⑵+陰/⑵]f[(4亠+产辛匚]z(Z-1)=2加(2—2)=0二、证明题(每小题10分,共30分)1、证明:则讣=r(6分)当r>R时ck<-^Mrn又当k>n时,且r>R8时28、,ck<-^-Mrn0。证毕。(1()分)2、证明:函数于⑵与函数0(z)=/(O)显然在z29、/(^)30、>d>31、0(z)32、二33、/(0)34、o(5分)则由儒歇定理,/⑵与/⑵-0⑵=/(z)-/(0)在35、^36、?有相同的零点个数,而后者显然至少有一个零点。证毕。(注:本题也可以用平均值定理或最大模原理证明)3、证明:在37、z38、=l上,有~azn(10分)=a>e>e而-宓"及e'在39、z40、51解析。由儒歇定理,N(ez-gz",41、z42、=l)=N(-azn,z4、分析题(共10分)1)=743、2。证毕。(3分)(5分)(10分)解:首先说明/(z)在44、z45、<1内仅有可能有有限个零点和有-限个极点,否则会与零点的孤立性及题设条件矛盾。(2分)再分别设其在46、z47、vl内的零点与极点分别为48、0⑵49、=1。50、z51、vl内0⑵二严。(9分)则/⑵在忖vl的表达式为:他)斗口(中口(净52、Ujl
15、d
16、>£时,方程在ez-azn=0单位圆忖vl内有刃个根。得分四、分析题(共10分)设
17、函数/(z)在
18、z
19、vl内除可能有极点外是解析的,在边界
20、z
21、=l上连续。当z
22、=i吋,
23、/a)
24、=io试分析给出函数/(Z)的表达式。五、综合题(共20分)根据所学习的教材内容,叔述判定复变函数为解析函数的多种(至少三种)方法。并尽可能说明其相互Z间的内在逻辑关系。分别举出一个解析和不解析的复变函数,并用至少具屮一种判定方法给了判定。安徽大学2006—2007学年第二学期《复变函数》考试试卷(B卷)参考答案•、填空题(每小题4分,共20分)1、2加2、/(Z3、常数因.f(z)是整函数,则可设=k=O(4分)(10分)(5
25、分)(8分)(10分)(2分)4、15、血二、计算题(每小题10分,共20分)1、解:令z-a=ei0,Q<0<271o则当n=i时,[—dz=r~^ieied0=2m。
26、z
27、=l4Ue当斤为整数一口/H1时,f——dz=^-^ieiedOAjt=z[£cos(7?-1)6W&-讣sin(n-1)61/&]=05z-22、解:血花二严=2加[笛”⑵+陰/⑵]f[(4亠+产辛匚]z(Z-1)=2加(2—2)=0二、证明题(每小题10分,共30分)1、证明:则讣=r(6分)当r>R时ck<-^Mrn又当k>n时,且r>R8时
28、,ck<-^-Mrn0。证毕。(1()分)2、证明:函数于⑵与函数0(z)=/(O)显然在z29、/(^)30、>d>31、0(z)32、二33、/(0)34、o(5分)则由儒歇定理,/⑵与/⑵-0⑵=/(z)-/(0)在35、^36、?有相同的零点个数,而后者显然至少有一个零点。证毕。(注:本题也可以用平均值定理或最大模原理证明)3、证明:在37、z38、=l上,有~azn(10分)=a>e>e而-宓"及e'在39、z40、51解析。由儒歇定理,N(ez-gz",41、z42、=l)=N(-azn,z4、分析题(共10分)1)=743、2。证毕。(3分)(5分)(10分)解:首先说明/(z)在44、z45、<1内仅有可能有有限个零点和有-限个极点,否则会与零点的孤立性及题设条件矛盾。(2分)再分别设其在46、z47、vl内的零点与极点分别为48、0⑵49、=1。50、z51、vl内0⑵二严。(9分)则/⑵在忖vl的表达式为:他)斗口(中口(净52、Ujl
29、/(^)
30、>d>
31、0(z)
32、二
33、/(0)
34、o(5分)则由儒歇定理,/⑵与/⑵-0⑵=/(z)-/(0)在
35、^
36、?有相同的零点个数,而后者显然至少有一个零点。证毕。(注:本题也可以用平均值定理或最大模原理证明)3、证明:在
37、z
38、=l上,有~azn(10分)=a>e>e而-宓"及e'在
39、z
40、51解析。由儒歇定理,N(ez-gz",
41、z
42、=l)=N(-azn,z4、分析题(共10分)1)=7
43、2。证毕。(3分)(5分)(10分)解:首先说明/(z)在
44、z
45、<1内仅有可能有有限个零点和有-限个极点,否则会与零点的孤立性及题设条件矛盾。(2分)再分别设其在
46、z
47、vl内的零点与极点分别为
48、0⑵
49、=1。50、z51、vl内0⑵二严。(9分)则/⑵在忖vl的表达式为:他)斗口(中口(净52、Ujl
50、z
51、vl内0⑵二严。(9分)则/⑵在忖vl的表达式为:他)斗口(中口(净52、Ujl
52、Ujl
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