2004年全国初中数学竞赛宝坻赛区复赛试卷

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1、2004年全国初中数学竞赛宝坻赛区复赛试卷题号一二三总分1~56~1011121314得分评卷人复查人答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答。2．解答书写时不要超过装订线。3．草稿纸不上交。得分评卷人一、选择题（本题共5小题，每小题6分，满分30分。每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里）　　1．设等式在实数范围内成立，其中、、是两两不等的实数，则的值是（）（A）3（B）（C）2（D）2．某商场对顾客实行优惠，规定：⑴如一次购物不超过200

2、元，则不予折扣；⑵如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；⑶如一次购物超过500元的，其中500元按第⑵条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠．某人两次去购物，分别付款168元与423元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款是（）（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8元3．如图，在凸四边形ABCD中两条边的长与两条对角线的长都等于a，则这个四边形的最大内角为（）（A）120°（B）135°（C）150°（D）不能确定初中数学竞赛试卷第9页（共

3、9页）4．如果,是质数，且,,那么的值为（）（A）（B）或2（C）（D）或25．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入…12345…输出……那么，当输入数据8时，输出的数据是（）（A）（B）（C）（D）得分评卷人二、填空题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知：，则___________________．7．如图，EF为正方形ABCD的对折线，将A沿DK折叠，它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG的度数是____________．8．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B，P

4、为⊙O2上一点，PN切⊙O1于N，交⊙O2于M，交BA的延长线于Q，且M为PN的中点，若MQ=12，则PN的长为___________．9．在等边△ABC所在平面上找到这样一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，那么具有这样性质的点有__________个．10．若、是关于的方程的实数根，则代数式的最小值为________________．初中数学竞赛试卷第9页（共9页）三、解答题（本题共4小题，每小题15分，满分60分）得分评卷人11．（本小题满分15分）已知：如图，BC为半圆的直径，O

5、为圆心，弦AD=DC，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E．⑴求证：△ABE∽△DBC；⑵已知：BC=，CD=，求sin∠AEB的值；⑶在⑵的条件下，求弦AB的长．初中数学竞赛试卷第9页（共9页）得分评卷人12．（本小题满分15分）设等腰三角形一腰与底边的长分别是方程的两根，当满足这样条件的三角形只有一个时，试求的取值范围．初中数学竞赛试卷第9页（共9页）得分评卷人13．（本小题满分15分）在学校足球赛中，要求每队必须同其余各个队进行一场比赛，每场比赛的胜队得2分，平局各得1分，负队得0分，已知有一

6、队得分最多，但它胜的场次比任何一队都少，且至少有t队参赛，求t的值．初中数学竞赛试卷第9页（共9页）得分评卷人14．（本小题满分15分）已知：a、b、c都是正整数，且二次函数的图象与x轴有两个不同的交点A、B．若A、B到原点的距离都小于1，求的最小值．初中数学竞赛试卷第9页（共9页）2004年全国初中数学竞赛宝坻赛区复赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题共5小题，每小题6分，共30分）1．B；2．C；3．C；4．B；5．C．二、填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分）6．；7．75°；8．72；

7、9．10；10．2．三、解答题（本题共4小题，每小题15分，共60分）11．证明：⑴∵AD=DC，∴∠ABD=∠DBC，又BC是⊙O的直径，∴∠BAC=∠BDC=90°，∴△ABE∽△DBC（5分）⑵由△ABE∽△DBC，∴∠AEB=∠DCB，在Rt△BDC中，BC=，CD=，∴∴sin∠AEB=sin∠DCB=（10分）⑶在Rt△BDC中，，又∵∠ABD=∠DAE，∠ADE=∠BDA，∴△AED∽△BAD，∴AD∶DE=DB∶AD，∴AD2=DE·BD，又，∴CD2=（BD－BE）·BD，即，∴初中数

8、学竞赛试卷第9页（共9页）在Rt△ABE中，．（15分）12．解：设原方程的两根为、，且≥＞0，由△=可知0＜≤9．（3分）当时,a=9,这时符合条件的三角形只有一个,即为等边三角形,其边长为3．（6分）当＞＞0时，0＜＜9，且，．若2＞，则根据三角形两边之和大于第三边知，这样的三角形不符合题意．（9分）若2≤，则满足条件的三角形就只有一个，即以为底，为腰，从而≤，解得：a≤8，又0＜＜9，∴0＜≤8．（13分）综上所述，0＜≤8或a=9即