2009年全国初中数学竞赛(天津赛区)复赛试题

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1、“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛天津赛区复赛试卷（4月5日上午9∶30～11∶30）题号一二三总分(1)～(5)(6)～(10)(11)(12)(13)(14)得分评卷人复查人得分评卷人一、选择题（本题共5小题，每小题7分，满分35分．每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里）（1）已知非零实数a，b满足，则等于（）．（A）－1（B）0（C）1（D）2（2）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．（A）（B）（C）1（D）2（3）将一枚六个面编

2、号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）．（A）（B）（C）（D）（4）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，．动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（）．（A）10（B）16（C）18（D）32图1图2（第4题）（5）关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（）．（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组得分评卷人二、填空题（本题共5小题，每小题7分

3、，满分35分．把答案填在题中横线上）（6）一个自行车的新轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km．（7）已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为．（8）已知是满足条件的五个互不相同的整数，若是关于x的方程的整数根，则的值为．（9）如图，在△ABC中，CD是

4、高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于．（第10题）（第9题）（10）10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．三、解答题（本题共4小题，每小题20分，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）得分评卷人（11）（本小题满分20分）函数的图象与轴的两个交点是否都在直线的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线的右侧时k的取值范围．得分评卷人（12）（本小题满分2

5、0分）如图，给定锐角三角形ABC，，AD，BE是它的两条高，过点作△ABC的外接圆的切线，过点D，E分别作的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．得分评卷人(13)（本小题满分20分）在平面直角坐标系中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数的图象上所有“好点”的坐标．得分评卷人(14)（本小题满分20分）有n个正整数满足如下条件：，且中任意n－1个不同数的算术平均数都是正整数，求n的最大值．