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《高中数学第一章常用逻辑用语11命题及其关系命题逻辑素材新人教A版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、命题逻辑命题逻辑以逻辑运算符结合原子命题來构成代表“命题”的公式，以及允许某些公式建构成“定理”的一套形式“证明规则”。（相对于谓词逻辑，它是量化的并且它的原子公式是谓词函数；和模态逻辑，它可以是非真值泛函的。）目录1简介2文法3演算1推理规则简介演算是用来证明有效的公式（就是说它的定理）和论证（argument）的逻辑系统。它是公理或公理模式的集合（它可以为空或是可数无限集合），和推导有效的推理的推理规则。形式文法（或语法）递归泄义语言的表达式和合式公式（well-formedformula经常缩写为w
2、ff）o此外给出定义真值和求值（或释义）的语义。它允许我们确定哪个wff是有效的（也就是定理）。在命题演算中语言由命题变量（或者叫占位符（placeholder））和句子/判决算子（或者叫连结词）。wff是任何原子公式或在句子操作符之上建造的公式。在下文屮我们描述一种标准命题演算。很多不同的公式系统存在，它们都或多或少等价但在下列方面不同：⑴它们的语言（就是说哪些操作符和变量是语言的一部分）；（2）它们有哪些（如果有的话）公理；⑶釆用了哪些推理规则。语言的构成：字母表的大写字母，表示命题变量。它们是原子公
3、式。惯例上，使用拉丁字母（A,B,C）或希腊字母（x,e,e）,但是不能混合使用。表示连结词（connective）（或逻辑算子）的符号：¬；>A>V>、？。（我们可以使用更少的算子（和相应的符号），因为一些算子是简写形式一例如，P-Q等价于¬PVQ）o左右圆括号：（,）o合式公式（wff）的集合右如下规则递归的定义：基础：字母表的字母（通常是大写的，如A、B、（1）、x等）是wffo归纳条款I：如果"是wff,则¬4）是wffo归纳条款II如果e和巾是wff,贝ij（e/巾）、（
4、ev巾）、（e->巾）和（e巾）是wffo闭包条款：其他东西都不是Wffo重复的应用这三个公式允许生成复杂的Wffo例如：通过规则1，八是Wffo通过规则2,¬A是wffo通过规则1,B是wffo通过规则3,（¬AVB）是wff。E演算为了简单化，我们使用自然演绎系统，它没有公理；或者等价的说，它有空的公理集合。使用我们的演算的推导将用编号后的行的列表，在每行之上有一个单一的wff和一个理由（justification）的形式展示岀來。任何前提（premise）都在上部，并带有"p"作为它
5、们的断定。结论将在最后一行。推导将被看作完备的，条件是所有行都是通过正确的应用一个规则而从前面的行得出的。（作为一种对比的方式，参见证明树）。公理我们的公理集合是空集。推理规则我们的命题演算有十个推理（inference）规则。这些规则允许我们从给定的一组假定为真的公式中推导出其他为真的公式。前八个简单的陈述我们可以从其他wff推论出（infer）特定的wffo但是最后两个规则使用了假言（hypothetical）推理，这意味着在规则的前提中我们可以临时的假定一个（未证明的）假设（hypothesis）作
6、为推导岀的公式集合的一部分，來查看我们是否能推导出一个特定的其他公式。因为前八个规则不是这样而通常被描述为非假言规则，而最后两个就叫做假言规则。双重否定除去从wff¬¬我们可以推岀合取介入从任何wffe和任何wff巾，我们可以推岀（“人巾）。合取除去从任何wff（e/巾），我们可以推岀e和巾。析取介入从任何wffe,我们可以推出（ev巾）和（巾ve）,这里的巾是任何wff。析取除去从（ev巾）、（e->X）和（巾->x）形式的wff,我们可以推岀x0双条件介入从（e-＞巾）和（巾-＞e）
7、形式的wff,我们可以推出（e巾）。双条件除去从wff（e巾），我们可以推出（e-＞巾）和（巾-＞e）。肯定前件从4）和（4）-＞巾）形式的wff,我们可以推出巾。条件证明如果在假定假设e的时候可以推导出巾，我们可以推岀（ef巾）。反证证明如果在假定假设2的时候可以推导出巾和¬11）,我们可以推岀¬4）o规则的町靠性和完备性这组规则的关键特性是它们是对靠的和完备的。非形式的，这意味着规则是正确的并且不再需要其他规则。这些要求可以如下这样正式的提出。我们定义真值指派为把命题变量映射到真或假的
8、函数。非形式的，这种真值指派可以被理解为对事件的可能状态（或对能性世界）的描述，在这里特定的陈述是真而其他为假。公式的语义因而可以被形式化，通过对它们把那些〃事件状态〃认定为真的定义。我们通过如下规则定义这种真值A在什么时候满足特定wff:满足命题变量P当且仅当A（P）满足满足满足满足满足¬；e(4)(4)(e(e=真当且仅当A不满足e巾）当且仅当A满足4）与巾）当且仅当A满足4）和巾）当且仅当没有A满足巾）当且仅当八满
