高中数学第一章导数及其应用13导数在研究函数中的应用多元函数的极值及其求法素

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1、多元函数的极值及其求法在实际问题中，我们会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题.与一元函数的情形类似，多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切的联系.下面我们以二元函数为例来讨论多元函数的极值问题.内容分布图示★引例★二元函数极值的概念例1-3★极值的必要条件★极值的充分条件★求二元函数极值的一般步骤★例4★例5★求最值的一般步骤★例6★例7★例8★例9★例10★例11★条件极值的概念★拉格郎日乘数法★例12★例13★例14★例15★例16*数学建模举例★最小二乘法★线性规划问题★内容小结★课堂练习★习题6-6★返

2、回内容提要：一、二元函数极值的概念定义1设函数z=f（x,y）在点（心,凡）的某一邻域内有定义，对于该邻域内异于（兀°,%）的任意一点（兀,y）,如果f（x9y）＜f（x09yQ）9则称函数在（勺,儿）有极大值；如杲则称函数在（勺,北）有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.定理1（必要条件）设函数z=/（x,y）在点（兀0,）；0）具有偏导数，且在点（兀0，）；0）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即/Q（），y（））=0,/v（x0,）?o）=0.（6.1）与一元函数的情形类似，对于多元函

3、数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的驻点.定理2（充分条件）设函数z=f（x,y）在点（兀,儿）的某邻域内有直到二阶的连续偏导数，又£（兀0，%）=0‘九（兀0』0）=。・令AvUoOo)=A£/兀0，儿)=5/y/xo,yo)=c.(1)当AC-B2>0时,函数/(x,y)在(砂0)处有极值，且当A>0时有极小值/(兀0，儿):Av0时有极大值/(兀0，儿):(2)当AC-B2<()时，函数f(x,y)在(兀0，北)处没有极值；(3)当AC-B2=0时，函数f(x,y)在(兀°,%)处可能有极值，也可能没有极值.

4、根据定理1与定理2,如果函数/(兀刃具有二阶连续偏导数，则求z=f(x,y)的极值的一般步骤为：第一步解方程组人(兀刃=0,人(兀』)=0,求出/(兀,y)的所有驻点；第二步求出函数/(x,y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处爪B、C的值，并根据AC-的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数/(x,y)在极值点处的极值.二、二元函数的最大值与最小值求函数/(x,y)的最大值和最小值的一般步骤为：(1)求函数/(x,y)在D内所有驻点处的函数值；(2)求/(X,y)在D的边界上的最大值和最小值；(3)将前两步得到的所有函数值进

5、行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数/(x,y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得，而函数/(ay)在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数/(兀刃在D上的最大值(最小值).三、条件极值拉格朗日乘数法前血所讨论的极值问题，对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条件，这类极值我们称为无条件极值.但在实际问题中，常会遇到刈•函数的自变量还有附加条件的的极值问题.对自变量有附加条件的极值称为条件极值.拉格朗日乘数法设二元函数/(x

6、,y)和卩(兀,刃在区域D内有一阶连续偏导数，则求z=f(x,y)在D内满足条件俠兀,y)=0的极值问题，可以转化为求拉格朗口函数厶(x,y,A)=/(兀,y)+2卩(兀,y)(其中2为某一常数)的无条件极值问题.于是，求函数z=/(x,y)在条件(p(x,y)=0的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：(1)构造拉格朗口函数厶（兀,y,A）=/（x,y）+久0（兀,y）其中2为某一常数；（2）由方程组Lx=fx（x,y）+入叭（x，刃=0,

7、所求条件极值的可能的极值点.注:拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件，因此按照这种方法求出来的点是否为极值点，还需要加以讨论.不过在实际问题中，往往可以根据问题本身的性质来判定所求的点是不是极值点.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形：四、数学建模举例例题选讲：二元函数极值的概念例1（讲义例1）函数z=2x2+3y2在点（0,0）处有极小值.从几何上看，z=2兀2+3b表示一开口向上的椭圆抛物面，点（0,0,0）是它的顶点.（图7-6-1）.例2（讲义例2）函数z二+）,在点（0,0）处有极大值.从

8、几何上看，z=_+y2表示一开口向下的半圆锥面，点（0,0,0）是它的顶点.（图7-6-2）.例3（讲义例3）函数z=/-x2在点（0,0）处无极值.从儿何上看，它表示双曲抛物面（马鞍面）（图7-6-3）例4（讲义例4）求惭数/（%,y）=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值.例5证明函数z=（l+R