函数、导数及其应用第十一节导数在研究函数中的应用

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1、第十一节　导数在研究函数中的应用1．函数的单调性与导数2．函数的极值与导数(1)若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值_________，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧_______________，右侧___________，则a点叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值．都小f′(x)<0f′(x)>0(2)若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值_______，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧____________，右侧

2、__________，则b点叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值．都大f′(x)>0f′(x)<03．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条____________的曲线，那么它必有最大值和最小值．连续不断(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的________.②将函数y＝f(x)的各极值与________________________比较，其中_______的

3、一个是最大值，_________的一个是最小值．极值端点处的函数值f(a)、f(b)最大最小1．f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件吗？【提示】函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)＞0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？它是可导函数在该点取得极值的什么条件？【提示】不一定．如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点，对于可导函数，若x＝x0为其极值点，则需满足以下两个

4、条件：①f′(x0)＝0，②x＝x0两侧的导数f′(x)的符号异号．因此f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在点x＝x0取得极值的必要不充分条件．利用导数研究函数的单调性(2011·广东高考改编)设0＜a≤1，讨论函数f(x)＝lnx＋a(1－a)x2－2(1－a)x的单调性．【思路点拨】(1)转化为判定f′(x)的正负；(2)在0＜a≤1，x＞0时，进而把所求问题转化为求g(x)＝2a(1－a)x2－2(1－a)x＋1＞0(或小于0)的解．1．本题的实质是函数g(x)的函数值的正负讨论，常见错误是对a的取值讨论不全

5、面，或者忽视函数的定义域．2．(1)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．f′(x)>0(f′(x)<0)是充分不必要条件．(2)由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．利用导数研究函数的极值1．可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号

6、不同．特别注意，导数为零的点不一定是极值点．2．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．3．本题第(2)问求解的关键是转化，函数与方程，方程与不等式相互转化．利用导数研究函数的最值所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)，单调递减区间是(－k，k)．若k＜0，当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：x(－∞，k)k(k，－k)－k(－k，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04k2e－1所以f(x)的单调递减区间是(

7、－∞，k)和(－k，＋∞)，单调递增区间是(k，－k)．1．(1)第(1)题中，f′(x)＝0的两根大小关系不确定，故从讨论两根大小入手分类求解；(2)解答第(2)题时，应借助第(1)题的结论，判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性情况，并求f(x)的最大值，构建关于k的不等式．2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．2011年各省市几乎都考查了导数的应用，重点是利用导数研究函数的单调性，求最(极)值．题型全面，小题主要考查利用导数求函数的单调区

8、间和极值，解答题考查导数与函数单调性，及相关内容的综合渗透，并突出转化思想、分类讨论思想的考查．规范解答之三　利用导数法求函数的最值【答案】D