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《高中数学第四讲数学归纳法证明不等式41数学归纳法课后导练新人教A版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4.1数学归纳法课后导练基础达标1设f(n)=—-——I11F—(n^N*),那么f(n+1)-f(n)等于()n+1n+2n+32nA.12n+1B.12n+2c1+1D1-12n+12/1+22n+12n+2解析:f(n+l)-f(n)_1/?+21++刃+3••J+1+1-(1+1+••」)2n2/7+12刃+2/?+ln+22n11—i111—12〃+12〃+2h+12n+12〃+2答案:D2若把正整数按下图所示的规律排序，则从2002到2004年的箭头方向依次为()14—>58—>9121t!I!t•…2—>36—>710—*11A.J〜B.〜丨C・
2、ffD.ff解析:2002二4X500+2,而a„=4n是每一个下边不封闭的正方形左，上顶点的数.答案:D3凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f(n+1)为()A.f(n)+n+lB.f(n)+nC.f(n)+nTD.f(n)+n-2解析：rfln边形到n+1边形，增加的对角线是增加的一个顶点到原n-2个顶点连成的n-2条对角线，及原先的一条边成了对角线.答案:C4用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)(n+n)=2n・1・3(2n-l)”,从“k到k+1”左端需增乘的代数式为()A.2k+lB.2(2k+l)C出D.土k+1R+1解析：当
3、n二1时，显然成立.当n=k吋，左边二(k+1)(k+2)(k+k),当n=k+l时，左边二(k+1+1)(k+1+2)(k+1+k)(k+1+k+l)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+l+k)(k+l+k+1)二(k+1)(k+2)(k+k)•+")(2"+2)二(k+i)(k+2)(k+k)2(2k+l).R+l答案:B5根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图形中有个点.解析:观察图形点分布的变化规律，发现第一个图形只有一个中心点;第二个图形屮除屮心外还有两边,每边一个点;第三个图形中除中心点外还有三个边,每边两个点；…；依次类推，第
4、n个图形中除中心外有n条边，每边n-1个点，故第n个图形中点的个数为n(nT)+l.答案:n2-n+l综合运用6如果命题P(n)对n=k成立，则它对n二k+1也成立，现己知P(n)对n=4不成立，则下列结论正确的是()A.P(n)对nWN*成立B.P(n)对n>4且nW"成立C.P(n)对*4且nWbT成立D.P(n)对nW4且不成立解析：由题意,可知P(n)对n=3不成立(否则n二4也成立).同理,可推得P(n)对n二2,n二1也不成立.答案:D7用数学归纳法证明“1+丄+丄+・・・+—!—5(nGN：n>l)”时，由n二k(k>1)不等式成立，推232"-
5、1证n二k+1时，左边应增加的项数是()A.2k_1B.2-1C.2kD.2k+l解析:左边的特点:分母逐渐增加1,末项为—;rtln二k,末项为到n二k+1,末项为2"—12a-12知1_]2k-r,・••应增加的项数为2-1+2"答案:C8观察下表：12343456745678910£设第n行的各数之和为Sn,则"T8n-解析:第一行1=12,第二行2+3+4二9二3；第三行3+4+5+6+7=25二5；第四行4+5+6+7+8+9+10二49二71归纳:第n项的各数之和Sn=(2n-1)2,lim^-=lim(^—!-)2=4.〃T8/?—>CO答案：
6、49已知y=f(x)满足f(n-l)=f(n)-lgan1(n^2,n^N)且f(l)=-lga,是否存在实数a,P使f(n)=(an2+6n-1)lga对任何nEN*都成立，证明你的结论.解析：Vf(n)=f(n-l)+lgan",令n二2,则f⑵=f(1)+1ga=-1ga+1ga=O.又f(l)=-lga,1p+0=0,[20+4a=l,"a=r11—/>f(n)二(一『-一nT)lga.0」.222证明如下：(1)当n=l吋，显然成立.(2)假设n=k时成立，即f(k)=(—k2-—k-l)lga,贝!In=k+l时,f(k+1)=f(k)+lgak=
7、f(k)+klga22=(丄f-丄k-l+k)lga=E—(k+1)2-—(k+l)-l]lga.2222・••当n二k+1时，等式成立.综合(1)(2),nJ'知存在实数a,P且a=—,3,使f(n)=(an2+Pn-l)lga对任意nWN*22都成立.拓展探究10是否存在常数a,b,c使等式1•(n2-l2)+2(n2-2")+(n2-n2)=an,+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论.思路分析:先取n=l,2,3探求a,b,c的值，然后用数学归纳法证明对一切a,b,c所确定的等式都成立.解:分别用n=l,2,3代入解方程组16a+4b+c=3=>
8、<81a+9b+c=181rTc=0.
