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《高中数学第四讲数学归纳法证明不等式41数学归纳法课堂导学案新人教A版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4.1数学归纳法课堂导学三点剖析一,熟悉数学归纳法证题的步骤【例1】已知f(n)=l+—+—+•・•+—(心2且nWN),求证:n+f(1)+(n-1)=nf(n).23n证明：(1)当n二2时，等式成立.⑵假设n二k时，k+f(l)+・・・+f(k-l)=kf(k).当n=k+l时，左边二k+l+f(l)+・・・+f(k-l)+f(k)=l+f(k)+kf(k)=(k+l)f(k)+l二(k+1)[f(k)+^^]k+1=(k+l)f(k+l)=右边.由(1)(2),知对n$2且nGN等式均成立.温馨提示用数学归纳法证题一般都有“两个步骤一个结论”，用框图表示如下：⑴证呱
2、gio(ziowN)时命题成立(2)证明：若Z(kmnd时命题成立,则zuk+l时命题也成立假设与递推对所有的eN*j/^7Zo)命题成立在证明时要注意书写的规范性.各个击破类题演练1在同一平面内有n个圆,其屮每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，证明这n个圆将平面分成n2-n+2个部分.证明：(1)当n二1时,『-n+2二2,即把平面分成两个部分，结论成立.(2)假设n二k时,k个圆把平面分成k「k+2个部分.若再增加一个圆，它与原来的k个圆相交，共有2k个交点.这些点把第k+1个圆分成2k段弧，而每段弧把它所在的那块平血分成两块，即增加了一个部分，因此总数
3、增加了2k个部分.所以当n二k+1时，平面被分成了(k2-k+2)+2k=(k+l)-(k+l)+2个部分，即n=k+l时命题成立.由(1)(2),知nWN时结论成立.变式提升1设有丁个球分成许多堆,我们可以任意选甲乙两堆按以下规则挪动.若甲堆的球数是p,不少于乙堆的球数q,则从甲堆里拿q个球放到乙堆里，这样算挪动一次•证明可以经过有限次挪动，把所有的球合并成一堆.证明：(1)当n二1时，有两个球，分为两堆，挪动一次就行了，即命题成立.⑵假设当n二k,即有》个球时命题成立.当n二k+1时,有丹二2・2*个球，显然球的个数为偶数,把它们两两配对可分成労对.这时只需将每对球看成
4、一个整体，即労个“球”，于是问题就变成n=k时的情形了，由归纳假设知n二k+1吋命题也成立.二、注意从n=k到n=k+l的过渡技巧(一)【例2】求证：当n为正整数时,n'+5n能被6整除.思路分析:本题用分析法(执果索因)，由分析命题P(k+1)入手，“凑”成命题P(k)有关的形式.证明：(1)当时,F+5X1二6,命题显然成立.(2)假设当n二k时,k3+5k能被6整除.当n=k+l时，(k+l)'+5(k+l)二k'+3F+3k+l+5k+5=(k3+5k)+3k(k+l)+6,其中两个连续自然数之积的3倍能被6整除，l?+5k,3k(k+l),6分别能被6整除,所以当
5、n=k+l时,命题也成立.据(1)(2),可知对于任意nWN：命题都成立.温馨提示从n二k到n二k+1时，常将P(k+1)分解成两部分式子和，一部分用归纳假设，一部分提取公因式,此公因式常为除式(除数)，这是证明整除问题的典型技巧.类题演练2若nWN,试证(3n+l)7"-l能被9整除.证明：设f(n)=(3n+1)・7r-l,(1)当n=l时，f(1)=27结论成立.(2)假设n=k时,f(k)能被9整除.当rpk+1时，f(k+1)-f(k)二(3k+4)・7旳一1-[(3k+l)-7k-l]=9(2k+3)・7：则f(k+1)二f(k)+9(2k+3)•广的各项都能被
6、9整除，即n=k+l时成立.由仃)(2),知结论成立.变式提升2设f(x)对--切自然数有定义，且①f(x)是整数；②f⑵=2;③f(m•n)=f(m)・f(n)对一切自然数成立；④当m>n时，有f(m)>f(n)，试证:f(n)二n・证明：⑴由于2=f(2)=f(1・2)=f(1)•f⑵=2f(1),/.f(1)=1,即n=l时，命题成立.⑵设nWk时,有f(k)=k.当n=k+l时,若k+1为偶数，则k+l=2i(ieN且iWk),・・・f(k+1)二f(2i)二f(2)•f(i)=2i=k+l;若k+1为奇数，则k+2为偶数,即k+2二2(i+l)(ieN且i+lWk
7、)・Af(k+2)=f[2(i+l)]=f(2)・f(i+l)=2(i+l)=k+2.由于k
