2018-2019高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法导学案 新人教A版选修4-5

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1、4.1　数学归纳法学习目标1．了解数学归纳法的原理．2．了解数学归纳法的使用范围．3．会用数学归纳法证明一些简单问题．一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。二、合作探究思考探究　探究1．数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?探究2．在用数学归纳法证明数学命题时，只有第一步或只有第二步可以吗？为什么？名师点拨：1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物

2、的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证

3、，所得结论是正确的．　(1)数学归纳法的原理从数学归纳法的定义可以看出，它强调的就是两个基本步骤，第一步，验证n＝n0时，命题成立，称为奠基．第二步，是假设递推，这两步都非常重要，缺一不可．第一步，证明了n＝n0时，命题成立，n＝n0成为后面递推的出发点．第二步的归纳假设n＝k(k∈N＋，k≥n0)就有了依据，在n＝n0成立时，n0＋1成立，n0＋2成立……这样就可以无限推理下去，而证n＝k＋1就是替代了无限的验证过程，所以说数学归纳法是一种合理，切实可行的证明方法，它实现了从有限到无限的飞跃．(2)应用数学归纳法的一般步骤①

4、验证n＝n0(n0为使命题有意义的最小正整数)命题成立；②假设当n＝k(k≥n0，k∈N＋时)，命题成立，利用假设证明n＝k＋1时命题也成立．由①和②知，对一切n≥n0的正整数命题成立．3．如何正确运用数学归纳法(1)适用范围，与正整数有关的数学命题．(2)验证n＝n0是基础，找准n0，它是使命题成立的最小正整数，不一定都是从1开始．(3)递推是关键，数学归纳法的实质是递推，即从n＝k到n＝k＋1的推理过程，必须用上假设，否则不是数学归纳法．(4)正确寻求递推关系，①在验证n＝n0时，不妨多写出几项，这样可能找出递推关系；②在

5、解决几何命题时，可先用特例归纳出规律，即找出f(k)到f(k＋1)的图形的变化情况；③对于整除性问题，往往添加项凑出假设．【例1】　看下面的证明是否正确，如果不正确，指出错误的原因，并加以改正．用数学归纳法证明：1－2＋4－8＋…＋(－1)n－1·2n－1＝(－1)n－1·＋.　　【证明】　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＋＝1，等式成立．(2)假设n＝k时，等式成立，即1－2＋4－8＋…＋(－1)k－12k－1＝(－1)k－1·＋.则当n＝k＋1时，有1－2＋4－8＋…＋(－1)k－1·2k－1＋(－1)k·2k＝＝－＝－

6、(－1)k＋1·＝(－1)k·＋.这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)与(2)知，对任意n∈N＋等式成立．【变式训练1】　用数学归纳法证明：n∈N＋时，＋＋…＋＝.【例2】　设x∈N＋，n∈N＋，求证：xn＋2＋(x＋1)2n＋1能被x2＋x＋1整除．【变式训练2】　求证：二项式x2n－y2n(n∈N＋)能被x＋y整除．【例3】　平面上有n条直线，其中任意两条直线不平行，任意三条不过同一点，求证：这n条直线把平面分割成f(n)＝块区域．【变式训练3】　已知n个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明

7、这n个圆把平面分成n2－n＋2部分．参考答案1.归纳法由一系列有限的特殊事物得出一般结论的推理方法，通常叫作归纳法．它是人们发现规律，产生猜想的一种方法．归纳法又分完全归纳法和不完全归纳法．(1)不完全归纳法不完全归纳法是根据事物的部分特例(而不是全部)得到一般结论的方法．用不完全归纳法得出的结论不一定是正确的，应设法去证明结论是正确的或举出反例说明结论是不正确的．(2)完全归纳法如果验证一切可能的特殊事物，得出一般性的结论，这种归纳法称为完全归纳法．完全归纳法是验证所有情况后得出的结论，因此结论是正确的．然而对于数量多，乃至

8、无穷多个，是不能做到一一验证的．对于无穷多个的事物，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，数学归纳法就是解决这类问题的证明方法．2．数学归纳法数学归纳法用于证明与正整数有关的数学命题，它是在归纳的基础上进行演绎推证，所得结论是正确的．　(1)数学归纳法的原理从