2018-2019高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法学案 新人教A版选修4-5

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1、4.1数学归纳法预习案一、预习目标及范围1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．2．会利用数学归纳法证明一些简单问题．二、预习要点教材整理　数学归纳法的概念一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当时命题成立；(2)假设当时命题成立，证明时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．三、预习检测1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是(　　)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3

2、2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)A．1B．2C．3D．03．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　)A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋探究案一、合作探究题型一、用数学归纳法证明等式例1　用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.【精彩点拨】　要证等式的左边共2n项，右边共n项，f(k)与f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边的首项

3、不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的合并．[再练一题]1．用数学归纳法证明：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．题型二、用数学归纳法证明整除问题例2用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．【精彩点拨】　先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．[再练一题]2．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除.题型三、证明几何命题例3平面内有n(n≥2，n∈N＋)条直线，其中任意两条不平行，任意三条不过同一点，那么这n条直线的交点个数f(n)是多

4、少？并证明你的结论．【精彩点拨】　(1)从特殊入手，求f(2)，f(3)，f(4)，猜想出一般性结论f(n)；(2)利用数学归纳法证明．[再练一题]3．在本例中，探究这n条直线互相分割成线段或射线的条数是多少？并加以证明．题型四、数学归纳法的概念例4用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是(　　)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3【精彩点拨】　注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.[再练一题]4．当f(k)＝1－＋－＋…＋－，则f(k＋1)＝f(k)＋________.二、

5、随堂检测1．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式为(　　)A．1B．1＋3C．1＋2＋3D.1＋2＋3＋42．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N＋且k≥1)时命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立．现已知n＝5时，该命题不成立，那么应有(　　)A．当n＝4时，该命题成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝6时，该命题不成立3．用数学归纳法证明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N＋)时，从“n＝k到n＝k＋1”左

6、端需乘以的代数式为(　　)A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D.参考答案预习检测：1.答案　C2.答案　C解析　凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.3.答案　D随堂检测：1.【解析】　当n＝1时左边所得的代数式为1＋2＋3.【答案】　C2.【解析】　若n＝4时命题成立，由递推关系知n＝5时命题成立，与题中条件矛盾，所以n＝4时，该命题不成立．【答案】　C3.【解析】　当n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)．当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)

7、(k＋3)…(k＋k)·(2k＋1)(2k＋2)．比较n＝k和n＝k＋1时等式的左边，可知左端需乘以＝2(2k＋1)．故选B.【答案】　B