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《高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法自我小测 新人教a版选修4-5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.1数学归纳法自我小测1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于( )A．B．＋C．＋D．＋＋2．在用数学归纳法证明n边形内角和为(n－2)·180°时，第一步应验证( )A．n＝1成立B．n＝2成立C．n＝3成立D．n＝4成立3．在数列{an}中，a1＝－1，前n项和Sn＝－1，先算出数列的前4项的值，根据这些值归纳猜想数列的通项公式是( )A．an＝－1B．an＝n－1C．an＝－D．an＝－4．用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)，在验证n＝1时，左边计算所得的项为( )A．1B．1＋aC．1＋a＋
2、a2D．1＋a＋a2＋a35．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．6．如图，第n个图形是由正(n＋2)边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第(n－2)个图形中共有________个顶点．7．设an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在关于n的整式g(n)，使得等式a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)·(an－1)，对大于1的一切自然数n都成立？证明你的结论．8．已知数列，，，…，，…，计算
3、数列和S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．参考答案1．解析：因为f(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋.所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.答案：D2．C3．解析：由题意，可知S2＝a1＋a2＝－1，∴a2＝－1－＋1＝－；S3＝a1＋a2＋a3＝－1，∴a3＝S3－S2＝－，同理，可得a4＝S4－S3＝－，故可猜想an＝－.答案：D4．解析：令n＝1，则等式左边＝1＋a＋a2.答案：C5．解析：设每个数对内的两数之和为k，则组成数对的个数为ak＝k－1，k＝2,3，…，则由不等式Sk＝＝＜60，得
4、k(k－1)＜120，则k的最大值为11，且S11＝＝55，则第56个数对之和为12，即(1,11)，后面的依次为(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，所以第60个数对为(5,7)．答案：(5,7)6．解析：设an为第n个图形的顶点数，则由题图可知：第1个图形有6个顶点，a1＝6；第2个图形有12个顶点，a2＝12；第3个图形有20个顶点，a3＝20；第4个图形有30个顶点，a4＝30；第5个图形有42个顶点，a5＝42；……则an＝(n＋1)(n＋2)，∴an－2＝(n－1)n＝n2－n.答案：n2－n7．答案：解：假设g(n)存在，那么，当n＝2
5、时，a1＝g(2)(a2－1)，即1＝g(2)(1＋－1)，∴g(2)＝2.当n＝3时，a1＋a2＝g(3)(a3－1)，即1＋＝g(3)，∴g(3)＝3.当n＝4时，a1＋a2＋a3＝g(4)(a4－1)，即1＋＋＝g(4)，∴g(4)＝4.由此猜想g(n)＝n(n≥2，n∈N＋)．下面用数学归纳法证明当n≥2，n∈N＋时，等式a1＋a2＋…＋an－1＝n(an－1)成立．(1)当n＝2时，a1＝1，g(2)(a2－1)＝2×(1＋－1)＝1，结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时结论成立，即a1＋a2＋…＋ak－1＝k(ak－1)成立．那么当n＝
6、k＋1时，a1＋a2＋…＋ak－1＋ak＝k(ak－1)＋ak＝(k＋1)ak－k＝(k＋1)ak－(k＋1)＋1＝(k＋1)＝(k＋1)(ak＋1－1)，说明当n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对一切大于1的自然数n，存在g(n)＝n，使等式a1＋a2＋…＋an－1＝g(n)(an－1)成立．8．答案：解：S1＝＝，S2＝＋＝，S3＝＋＝，S4＝＋＝.上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1，于是可以猜想Sn＝.证明：(1)当n＝1时，左边＝S1＝，右边＝＝，猜想成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时猜想成立，即＋＋…＋＝成立，
7、则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，所以当n＝k＋1时，猜想成立，根据(1)(2)知猜想对任意n∈N＋，Sn＝都成立．
