高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.1数学归纳法知识导学案新人教a版选修4

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1、一数学归纳法知识梳理数学归纳法（1）先证明当n取______时命题成立，然后假设当n=k(k∈N+,______)时命题成立，证明当n=______时命题成立，这种证明方法叫做数学归纳法.（2）1+22+32+…+n2=______.知识导学数学归纳法是证明与正整数n相关命题的一种方法.如果把要证明的命题记作P(n)，那么数学归纳法的证明步骤为：（1）证明当n取对命题适用的第一个正整数n0时，P(n0)正确.（2）假设n=k(k∈N+，且k≥n0)时，命题正确，即P(k)正确，证明当n=k+1时命题成

2、立，即P（k+1）正确.（3）根据（1）（2），得当n≥n0且n∈N+时，P（n）正确.运用数学归纳法证题时，以上三个步骤缺一不可，步骤（1）是奠基，称之为归纳基础；步骤（2）反映了无限递推关系，即命题的正确性具有传递性.若只有步骤（1），而无步骤（2），只有证明了命题在特殊情况下的正确性是不完全归纳法.若只有步骤（2），而没有步骤（1），那么假设n=k成立，即P（k）成立，就没有根据的，缺少递推的基础，也无法进行递推.有了步骤（1）和步骤（2）使递推成为可能.步骤（3）是将步骤（1）和步骤（2）结合

3、完成数学归纳法中递推的全程过程.因此三个步骤缺一不可.应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法.疑难突破1.数学归纳法及其证明思路归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般结论的推理方法.它包括不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特殊事例得出的一般结论的推理方法.比如在学习数列的知识时，我们可以通过观察数列的前几项来写数列的通项公式，这个过程就是用的不完全归纳法，我们知道仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论有时是不正确的.例如，一

4、个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2,容易验证a1=1,a2=1,a3=1,a4=1.但如果由此作出结论——对任何n∈N+,an=(n2-5n+5)2=1都成立，那就是错误的，事实上，a5=25≠1.完全归纳法是根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法.数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用，用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论.2.运用数学归纳法时，在“假设与递推”的步骤中发现具体问题中的递推关系数学归纳法一般被使用证明某些涉及正整数n的命题，n可取无限多值，但不能简单地说所有涉

5、及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明，例如用数学归纳法证明（1+）n(n∈N+)的单调性就难以实现，一般说来，从k=n到k=n+1时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难.在运用数学归纳法时，要注意起点n，并非一定取1，也可能取0，2等值，要看清题目，比如证明凸n边形的内角和f(n)=（n-2）×180°，这里面的n应不小于3，即n≥3，第一个值n0=3.归纳假设的利用是数学归纳法证明的关键，这也是能否由“n=k”递推到“n=k+1”的关键，在证明过程中

6、，需根据命题的变化或者在步骤的变化中，从数学式子的结构特点上，利用拼凑的方法，凑假设，凑结论，从而使“递推关系”得以顺利进行，命题得以证明.典题精讲【例1】用数学归纳法证明：(3n+1)·7n-1能被9整除(n∈N+).思路分析：证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a（或一个代数式g(n)）整除，主要是找到f(k+1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k),f2(k),使得f(k+1)=f(k)·f1(k)+a·f2(k)，就可证得命题成立.证明：（1）当n=1时，原式=(3×1+1)×7-1=

7、27,能被9整除，命题成立.(2)假设当n=k时,(3k+1)·7k-1能被9整除，则当n=k+1时,［3(k+1)+1］·7k+1-1=［21(k+1)+7］·7k-1=［(3k+1)+(18k+27)］·7k-1=［(3k+1)·7k-1］+9(2k+3)·7k∵［(3k+1)·7k-1］和9(2k+3)·7k都能被9整除，∴［(3k+1)·7k-1］+9(2k+3)·7k能被9整除.即［3(k+1)+1］·7k+1-1能被9整除,即当n=k+1时命题成立.由（1）（2）可知，对任何n∈N+,命题

8、都成立.绿色通道：本题如果将n=k+1时，［3(k+1)+1］·7k+1-1变为7［(3k+1)·7k-1］+3×7k+1+6，再去证明3×7k+1+6能被9整除，困难就大一些，即为了能利用归纳假设，拼凑结构式以利于出现题目所需要的形式，是需要观察式子的特点，不能盲目变形，要有目标.【变式训练】已知f(n)=(2n+7)·3n+9，是否存在自然数m，使得对任意n∈N+,都能使m整除f(n),如果存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.思